高等数学基础例题讲解

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

第1章 函数的极限与连续

lim

例1．求

x 0

xx．

x 0

解：当x 0时，

lim

xx

lim lim1 1

x 0x 0xx，

当x 0时，

x 0

lim

xx

lim lim( 1) 1xx 0 xx 0

，

lim

由极限定义可知，

x 0

x

x不存在（如图）．

sinmx

例2．求x 0x（m是非零常数）．

解：令mx u，显然当x 0时u 0，于是

sinmxsinmxsinulim limm mlim mx 0x 0u 0xmxu．

2

lim(1 )x

x． 例3．求x

xt

2，当x 时，有t ， 解：令

lim

22 211

lim(1 ) lim[(1 )t]2 [lim(1 )t]2 e2

t t xtt原式x

x

x2 x

lim

x例4．求x 0．

解：

21 x 0x 02

x 0ax 1lim

例5．求x 0x．

x

解：令a 1 t，则x loga(1 t)，x 0时t 0，于是

ax 1ttlim lim lim lnax 0t 0log(1 t)t 0xa

lna

第2章 一元函数微分及其应用

解：f(x) 2x为初等函数，在其定义域

3

例1．讨论函数f(x) 2x在x 0处的可导性与连续性．

( , )上连续，

所以在x 0处连续．又

f(0 h) f(0)f

(0) lim

h 0h 0h

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

h 0

f (0)不存在．所以函数f(x) 2x在x 0处连续，但不可导．事实上，曲线

f(x) 23x在(0,0)点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x轴的切线x 0（如

图）．

例2．求y sinx的各阶导数． 解：

y cosx sin(x

2，

)

y cos(x

2

) sin[(x

2

)

] sin(x 2 )

22，

y cos(x 2 ) sin[(x 2 ) ] sin(x 3 )

2222，

…….

y(n) sin(x n )2， (sinx)(n) sin(x n )

2． 所以：

y

例3

．求

解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[ 2, 1) ( 1, ) 当x 1时，y 0，函数式两边取对数得：

x)4(x 1)5

的导数．

1

ln(x 2) 4ln(3 x) 5ln(x 1)2 y 1111 4 52x 2x 3x 1 因此上式两边对x求导，得 y

lny

y

整理后得，

x 2(3 x)4145[ ]2(x 2)x 3x 1 (x 1)5

当 2 x 1时可得同样结论．

11

例4．x 1lnxx 1．

lim

解：这是“ ”型，通分即可化为“0”型．

11

11x 1 lnxxlim lim limx 1lnxx 1x 1x 1(x 1)lnxx 1

lnx

x

x 111

lim lim x 1xlnx x 1x 1lnx 1 12．

例5．求内接于半径为R的球内的圆柱体的最大体积．

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

2

解：设圆柱的底半径为r，高为h则体积v rh，而

h

r2 ()

2 R2

2

故问题

v(h) h(R2 h2/4) (R2h h3/4)（0 h 2R），

转化为求函数v(h)的最大值．

由

去）．

根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不

h h 处取得．即当，能在端点h 0，h 2R处取得，故只在唯一驻点

3h v (h) (R2 h2) 0

（负值不合题意舍4得驻点

r

Rvmax R3

3时圆柱体的体积最大，最大体积．

第3章 一元函数的积分学

例1．

1x a

2

2

dx

（a 0）．

解：当x a时，设x asect(

0 t

2)，dx asecttantdt代入有：

原式

asecttantdt

．

为将变量t还原为x，借助如图的直角三角形（或利用三角

sectdt ln(sect tant) C

xsect tant a恒等式）有，从而：

ln(x C．

当x a时，令x u，则u，由上，我们有：

ln(u C1 ln( x C1

ln( x C．

综合以上结论得，

lnx C

．

sinx

dx 1 sinx cosx例2．求． xtan t

sinx2tdxdt2 (t 1)(t 1) 解：1 sinx cosx

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1t 11

2)dt ln|1 t| ln|1 t2| arctant ct 1t 12 xxx ln|sin cos| c222．

1

dxp 1x例3．讨论积分的收敛性． 1

dx lnx 11p 1x解：当时，，发散；当p 1时， (

11 p11 p 1b1 limx lim(b 1)dxb 1 pb 1 pp 1xpdx blim 1x1；

111 pdx limb 0 1xp

p 1，广义积分收敛； 当p 1时，有b ，所以1dxlimb p 1p 1b x当时，有，从而是发散的．

2

例4．求曲线y x 0和x y 2围成的图形的面积．

1 p

b

选x为积分变量，把面积分成两部分

1

4

1

y2 x 0

解：由 x y 2得交点( 1, 1)，( 4,2) A ( x 2))dx

2

2

92．

另解：选y为积分变量，积分区间[ 1,2]，

图3-14

A ( y ( y 2))dy ( y2 y 2)dy

1

1

2

11

( y3 y2 2y)

32

显然选y为积分变量计算较简单．

例5．计算曲线x arctant，

2

1

92．

y

1

ln(1 t2)2从t 0到t 1的弧长．

解：

s

4

ln(1．

1

t tanu

40

secudu ln|secu tanu|

第4章 常微分方程

dyx y

例1．求齐次方程dxx y的通解．

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y

dy

dyx yyydydudx 1 u x u

dx，x，解：原方程变形为设x，则dx代入方程dxx y有：

du1 u2du1 u

u x x

dx1 u dx1 u，

1

分离变量积分有：

1 u112

du dxarctanu ln(1 u) ln|x| c1

1 u2 x 2，

即：x(1 u) e

2

2

2arctanu c

222arctanu c

x y e（这里c 2c1），

所以，原方程的通解为x y e

22

y

2 c

x

．

dy2 y (x 1)3

例2．求解微分方程dxx 1．

dy2 y 0dxx 1解：对应齐次方程为：，分离变量后积分，可得其通解为：

y c(x 1)2；

dy2 y (x 1)32

设y c(x)(x 1)，代入方程dxx 1有：

2

c (x)(x 1)2 2c(x)(x 1) c(x)(x 1)2 (x 1)3

x 1

1

c(x) (x 1)2 c

2解得：c (x) x 1 ， 1

y [(x 1)2 c](x 1)2

2所以原方程的通解为：． dyx xsinx ydx例3．求微分方程的通解．

dy1

y sinx

解法一：原方程化为：dxx，对应齐次方程为：

dy1 y dxx0，

cy

x； 分离变量积分得对应齐次方程的通解为：

c(x)dy1y y sinx

x，代入方程dxx设有：

c (x)x c(x) 11c(x)

sinx2

xxx