2018 - 2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2-3-2双曲线的几何

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。2.3.2 双曲线的几何性质

[基础达标]

x2y21.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．

169 解析：由双曲线方程可知a＝4，b＝3，

3 所以两条渐近线方程为y＝±x.

43 答案：y＝±x4x2y2x2y22.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，

a2b2416 0)，则a＝________，b＝________．

x2y2b222

解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又c＝5，a＋b＝c，所以a＝1，

416a b＝2.

答案：1 2

3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方

程是________．222

解析：由题意得2a＋2b＝22c，即a＋b＝2c，又因为a＝2，所以b＝2c－2，所以c＝a＋b＝4

＋b＝4＋(2c－2)，即c－42c＋8＝0，所以c＝22，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.

2

2

2

y2x244y2x2答案：－＝1

44x2y24.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．

a293932

解析：渐近线方程可化为y＝±x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝(±)，解得a＝±2，由题意知

2a22 a>0，∴a＝2.

答案：2

5.已知双曲线C经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为y＝3x，则双曲线C的标准方程是________．

22

解析：设双曲线的方程为y－3x＝λ(λ≠0)，将点(1，1)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程

x2y2－＝1.223x2y2答案：－＝1

223

是

x2y26.已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲

916 线交于点B，则△AFB的面积为________．

4解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨设直线BF斜率

34321为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解得yB＝－，则S△AFB＝AF·|yB|315213232 ＝(c－a)·＝.21515物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。 答案：

3215x2y27.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦

a2b2 点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．

解析：双曲线的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圆心为(3，0)，半径r＝2.由圆心到直线的距

|3b|22222

离为r＝＝2，所以4a＝5b，又双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，即9＝a＋b，a＝5，

a2＋b2x2y22

b＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.

54x2y2 答案：－＝1

54x2y28.如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2

a2b2 为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

(1)双曲线的离心率e＝________；

S1 (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________．

S2

3＋51＋5，∴e＝.22bcS12bc2bcb2＋c221(2)设sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e－＝

2a22b2＋c2b2＋c2S24a2sin θcos θ4a2·bcb2＋c2解析：(1)由题意可得ab2＋c2＝bc，∴a－3ac＋c＝0，∴e－3e＋1＝0，∴e＝

4

22

4

4

2

2

2＋5.21＋52＋5答案：(1) (2)

22

x2y29.已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支

a2b2 交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．

1 解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a，

2 ∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c，

222

又在Rt△AF1F2中有AF21＋F1F2＝AF2，即4a＋4c＝16a，∴e＝3.

x2y210.设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，且点(1，0)到直线la2b24 的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．

5 解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.

（a－1）b 由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离为d1＝，

a2＋b2物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。同理得到点(－1，0)到直线l的距离为d2＝

（a＋1）b42ab4222

，由s≥c得到≥c①.将b＝c－a代入①

5c5a2＋b24224

式的平方，整理得4c－25ac＋25a≤0，

c242

两边同除以a后令＝x，得到4x－25x＋25≤0，

a25 解得≤x≤5，

4c5 又e＝＝x，故≤e≤5.

a2[能力提升]

1.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴

长的2倍，则C的离心率为________．

x2y2＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因a2b2x2y2b22b2?b422?c2 此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y＝b?－1?＝，∴y＝±，故AB＝，a2b2aa?a2?a22b2b2 依题意＝4a，∴＝2，

aa2c2－a22

∴＝e－1＝2，∴e＝3.

a2 答案：3x2y2y22.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长

a2b242

轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b＝________．

x2y2解析：C2的一条渐近线为y＝2x，设渐近线与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的交点分别为C(x1，2x1)，D(x2，

a2b2a?2a2x2y214a2?2

2x2)，则OC＝x21＋4x21＝??，即x21＝，又由C(x1，2x1)在C1：＋＝1上，所以有＋＝1，①

45a2b24545b2?3?x2y2y2222

又由椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－＝1有公共的焦点可得a－b＝5，②

a2b2412

由①②可得b＝.21 答案：

2 3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点M(4，－10)．

解析：设双曲线的标准方程为－

(1)求双曲线方程；

(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：NF1·NF2＝0；

(3)求△F1NF2的面积．

22

解：(1)∵e＝2，故可设等轴双曲线的方程为x－y＝λ(λ≠0)，

∵过点M(4，－10)，∴16－10＝λ，∴λ＝6.

→→

x2y266(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a＝b＝6，∴c＝23.

∴F1(－23，0)，F2(23，0)．

→→ ∴NF1＝(－23－3，－m)，NF2＝(23－3，－m)．

→→2

∴NF1·NF2＝[(－23－3)·(23－3)]＋m2

＝－3＋m.22

∵点N(3，m)在双曲线上，∴9－m＝6，∴m＝3.

→→ ∴NF1·NF2＝0.

∴双曲线方程为－＝1.