人教版初中《第13章正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案

第13章 正弦定理与余弦定理

13.1.1★★ 已知点P是△ABC内一点，使得?PAB??PBC??PCA??. 求证：

1111?2?2?2. 2sin?sinAsinBsinC解析 如图，设△ABC的三边为a、b、c，对应角分别为?A、?B、?C，

?BPC?180??????C????180???C，同理?CPA?180???A，?APB?180???B.

AαPαBαC

由正弦定理，

S△CAPBPsin?nsi?sin?sin?，故B，同理CP?a，AP?b，S△ABC?S△ABP?S△CBP? ?Pc?ABsinBnsiBCsinA11?bcacab?211?(AB?AP?BC?BP?CA?CP)sin????? ?sin??S△ABC(2?22?sinAsinBsinC?sinAsin2B?1)sin2?. 2sinC1111?2?2?2. 2sin?sinAsinBsinC于是

13.1.2★★在△ABC的AC及BC边上分别取点X、Y，使?ABX??YAC，?AYB??BXC，

XC?YB，求△ABC的所有内角.

解析 如图，易知?C??AYB??YAC??BXC??ABX??BAC，故AB?BC.

AXPBYC

BYXCsin?AYB?sin?BXC?sin?XBC. ABBC又由正弦定理，sin?BAY?于是?BAY??XBC（易见?BAY??XBC?180?），故?BAC??ABC，BC?AC. 于是△ABC为正三角形，各内角均为60?.

13.13 ★★★已知凸四边形ABCD，AC?BD，AB、BC、CD、DA上分别有点F、G、H、

E，AB?FD，BC?DG，CD?BH，AD?BE，求证：FH、GE、AC共点.

解析 如图，设△ABD、△BCD垂心分别为M、N，FH与AC交于K，EG与AC交于K?.

AFMEDBK'KGCH

由正弦定理及四点共圆，有

MKsin?HFDsin?HBDsin?DCA， ???MFsin?MKFsin?MKFsin?MKFNKsin?FHBsin?FDBsin?BAC， ???NHsin?NKHsin?MKFsin?MKFMKMFsin?DCAAM. ???NKNHsin?BACCNMK?AM同理，得K与K?重合，即FH、GE、AC共点. ?NK?CN于是

13.1.4 ★★★已知ABCD，E在BC上，AE、DC延长后交于F，O是△ECF的外心（在

△ECF内），若B、O、C、D共圆，则AD?FD.

解析 如图，设?CBO??CDO??，?BCO??，?OFD??.作OM?BC，ON?CF，M、N分别是CE、CF之中点.

AθBθEMOαCNβFD

BMBE?EMBE2BE2BC2AD2DF2DCCDND， ???1??1??1??1??1??1??1?MCMCCMECECCECFCFNFNFBOcos?DOcos?BODO??此即，于是.

COcos?OFcos?cos?cos?易知

又由正弦定理

BOCOFODO???，于是tan??tan?，???，△BOC≌△DOF，故sin?sin?sin?sin?AD?BC?DF.

13.1.5★★有一个凸四边形ABCD，顶点均在一圆周上，且AB?2，BC?3，CD?4，DA?5，求

AC的值. BDabc，其中a、b、c为三边长，R为外接圆半径.于是由4R解析 由正弦定理知S△ABC?S△ABC?S△ACD?S△ABD?S△BCD，并考虑4个三角形有共同的外接圆，故有AB?BC?CA?CD?DA?CA? AB?AD?BD?BC?CD?BD.

代入数字，得6CA?20CA?10BD?12BD，于是

AC11?. BD13CD13.1.6★★★已知凸四边形ABCD，对角线交于P，BP?DP，过P的一条直线分别交AB、

于G、H，过P的另一条直线分别交AD、BC于E、F，GF、EH分别交BD于M、N， 求证：PM?PN.

解析 如图，设好?1~?6各角.由BP?PD知S△ABC?S△ACD，故AB?BC?sin(?1??2)?AD?CD?

sin(?3??4)，

AGBF2M5P16E536N4HDC

sin?3sin?1sin?1sin?2sin?5sin?6?，于是sin(?3??4)?

sin(?3??4)sin(?1??2)sin?3sin?4由正弦不定理，知止式可改为

sin?5sin?6ED?HDsin(?3??4)BG?BFsin(?1??2)，两边同时除去?sin(?1??2)，此即?sin?1sin?2PE?PHPG?PFSSBMDNsin(?5??6)，即得△BGF?△DEH，此即，故PM?PN. ?S△PGFS△PEHPMPN13.1.7★★证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形ABCD的对角线交于P，又设

?APB??，则

AD2?BC2?AB2?CD2. cos??2AC?BD解析 如图，由余弦定理，AB2?AP2?BP2?2AP?BPcos?，

ABθPCD

CD2?CP2?DP2?2CP?DPcos?，

又BC2?BP2?CP2?2BP?CPcos(180???)?BP2?CP2?2BP?CPcos?，

AD2?AP2?DP2?2AP?DPcos?，

所以

AD2?BC2?AB2?CD2

?2(AP?DP?BP?CP?CP?DP?AP?BP)cos? ?2AC?BD?cos?.

因此结论成立.

13.1.8★★梯形ABCD，AC?BD，上底AD?m，下底BC?n，m?n，BA、CD延长后交于

P，?P??，试用m、n、?表示梯形的高.

解析 如图，设AB?a，CD?b，则由AC?BD，有a2?b2?m2?n2.

PθADBKC

又在BC上找一点K，使AK∥CD.则由余弦定理，(m?n)2?a2?b2?2abcos?，