近十年全国高中数学联赛试题一试（解析几何）(2)

?r1cos??a22+

?r1sin??b22[r2cos(??)]2[r2sin(??)]22+2=1, =1, 22ab22?

?cos2(??)sin2(??)1cos?sin?1112] 2+?于是,+==()+[?22222222OPabR1R2OQba=

??11+=1. a2b2111=+=1,故得h=1 hOP2OQ2又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则

同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证. [注]对于给出a?b?ab ，

2222aba?b22=1等条件者，应同样给分.

2002．已知点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则

y0－21y1－y01kAB=2=．kBC=22=．

y0－4y0+2y1－y0y1+y0由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．

∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．

∴ △=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4．

当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．

2005.过抛物线y?x2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足

AEBF??1;点F在线段BC上，满足??2，且ECFC?1??2?1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y??2x|x?1?2,?切线AB的方程为

1y?2x?1.?B、D的坐标为B(0,?1),D(,0),?D是线段AB的中点. ………………5分

2AE2??1知， 设P(x,y)、C(x0,x0)、E(x1,y1)、F(x2,y2)，则由EC221??1x01??1x0?2x0?1??2x0BE??2,得x2?x1?,y1?;,y2?.

1??11??1FC1??21??221??1x01??1x0y?x?1??11??1∴EF所在直线方程为：?, 22?1??2x01??1x0?2x01??1x0??1??21??11??21??122化简得[(?2??1)x0?(1??2)]y?[(?2??1)x0?3]x?1?x0??2x0.…①…………10分 222x0x?x01当x0?时，直线CD的方程为：y?…②

22x0?1x0?1?x??1?3y?(3x?1)2.………15联立①、②解得?，消去，得P点轨迹方程为：x023?y?x0?3?分

当x0?1311311时，EF方程为：?y?(?2??1?3)x???2,CD方程为：x?，22442421??x?,??2?2?x?1,?x?. 联立解得?也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴?013?y?.??12???∴所求轨迹方程为y?分

解二：由解一知，AB的方程为y?2x?1,B(0,?1),D(,0),故D是AB的中点. ……5分 令??12(3x?1)2(x?).………………………………………………203312CDCACB,t1??1??1,t2??1??2,则t1?t2?3.因为CD为?ABC的中线， CPCECF?S?CAB?2S?CAD?2S?CBD.

而

SSt?t1CE?CFS?CEF11133????CEP??CFP?(?)?12?,???,t1t2CA?CBS?CAB2S?CAD2S?CBD2t1?t2?2t1t2?2t1t2?2?P是?ABC的重心. ………………………………………………………………………10分

2设P(x,y),C(x0,x0),因点C异于A，则x0?1,故重心P的坐标为

220?1?x01?x0?1?1?x0x012x??,(x?),y??,消去x0,得y?(3x?1)2.

333333故所求轨迹方程为y?12(3x?1)2(x?).………………………………………………20分 3322006. 给定整数n?2，设 M0(x0,y0)是抛物线y?nx?1与直线y?x的一个交点. 试证

2明对于任意正整数m，必存在整数k?2，使(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线

mmy?x的一个交点.

n?n2?4【证明】 因为y?nx?1与y?x的交点为x0?y0?.

22显然有x0?1?n。…（5分） x01. mx0m2若(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线y?x的一个交点，则k?x0?mm …（10分）

记km?x0?（13.1）

m11，则 k?k(x?)?km?1?nkm?km?，m?1m01 (m?2) mx0x0由于k1?n是整数，k2?x0?21122?(x?)?2?n?2也是整数，所以根据数学归纳法，02x0x0m通过（13.1）式可证明对于一切正整数m，km?x0?1是正整数. 现在对于任意正整数m，x0m取k?x0?m1mm2y?x，使得与的交点为 y?kx?1(x,y00). …………… （20分）

x0m2008．如图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PBC，求?PBC面积的最小值．

[解] 设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c)，不妨设b?c．

直线PB的方程:y?b?y0?b，

xx0化简得 (y0?b)x?x0y?x0b?0．

又圆心(1,0)到PB的距离为1，

y0?b?x0b(y0?b)?x220?1 ， …5分

222故(y0?b)2?x0?(y0?b)2?2x0b(y0?b)?x0b，

易知x0?2，上式化简得(x0?2)b2?2y0b?x0?0，

同理有(x0?2)c2?2y0c?x0?0． …10分

所以b?c??x0，则 ?2y0，bc?x0?2x0?22224x0?4y0?8x0．

(b?c)?(x0?2)22因P(x0,y0)是抛物线上的点，有y0?2x0，则

22x0． …15分 4x0，b?c?(b?c)?x0?2(x0?2)22x所以S?PBC?1(b?c)?x0?0?x0?(x0?2)?4?4

2x0?2x0?2 ?24?4?．8

当(x0?2)2?4时，上式取等号，此时x0?4,y0??22．

因此S?PBC的最小值为8． …20分

x2y22009.（本小题满分14分）设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）与椭圆+=1交于

1612x2y2不同两点A，B，与双曲线-=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量412??????????AC+BD=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．