空间向量的直角坐标及其运算（二）

9.6空间向量的直角坐标及其运算(二)

教学目的：

1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；

2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 教学重点：夹角公式、距离公式

教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用.

授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：

一、复习引入： 1.空间直角坐标系：

???（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

??????（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方

向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

???角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐

标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数

z??????组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在

空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：

kixOjA(x,y,z)y??（1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，

????则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， ????a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3， ??a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， ??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0．

????（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．

zA(x1,y1,z1)ABkixOjB(x2,y2,z2)y一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、讲解新课：

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1.模长公式： 若

?a?(a1,a2,a3)，

?b?(b1,b2,b3)，则

???22|a|?a?a?a1?a?2a，32???222|b|?b?b?b1?b2?b3．

????a1b1?a2b2?a3b3a?b??2．夹角公式：cosa?b??．

222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b33．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

????????2222则|AB|?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)，

或dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．

三、讲解范例：

例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)， 求：（1）线段AB的中点坐标和长度；

（2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.

?????1????????3解：（1）设M是线段AB的中点，则OM?(OA?OB)?(2,,3)．

223222∴AB的中点坐标是(2,,3)，dA,B?(1?3)?(0?3)?(5?1)?29．

2（2）∵点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等， 则

(x?3)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?5)2,化简得：

4x?6y?8z?7?0,

所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是

4x?6y?8z?7?0．

点评：到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点P的坐标x,y,z满足的条件4x?6y?8z?7?0的系数构成一个向量a?(4,6?8)，发现与

?????AB?(?2,?3,4)共线.

例2．如图正方体ABCD?A1?1B1C1D1中，B1E1?D1F弦.

1A1B1，求BE1与DF1所成角的余42 / 4

解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O?xyz， 则B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F1(0,,1)，

3414????????????????????1117BE?(0,?,1)DF?(0,,1)∴，，∴， BE?DF?1111444??????????1115BE1?DF1?0?0?(??)?1?1?．

441615??????????1516cosBE1,DF1??．

17171744例3．已知三角形的顶点是A(1,?1,1)，B(2,1,?1)，C(?1,?1,?2)，试求这个三角形的面积.

?????1???分析：可用公式S?|AB|?|AC|?sinA来求面积.

2????????解：∵AB?(1,2,?2)，AC?(?2,0,?3)，

????????22222∴|AB|?1?2?(?2)?3，|AC|?(?2)?0?(?3)?13，

????????AB?AC?(1,2,?2)?(?2,0,?3)??2?6?4，

????????????????AB?AC4413??????∴cosA?cos?AB,AC?????， ?39|AB|?|AC|3?13????????????????13?1012∴sinA?sin?AB,AC??1?cos?AB,AC??，

39所以，S?ABC?????1???101?|AB|?|AC|?sinA?． 22点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角.

四、课堂练习：

????1.若A(3cos?,3sin?,1)，B(2cos?,2sin?,1)，求|AB|的取值范围；

????22．已知a?(x,2,0)，b?(3,2?x,x)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围；

????3．若P(cos?,sin?,2sin?)，Q(2cos?,2sin?,1)，求|PQ|的最大值和最小值.

4．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA⊥平面?，直线BD⊥平面?，O、B为垂足． 求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

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????????i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝(x,y,z)． ????????????∵BD⊥?， ∴BD⊥i，BD⊥j， ??????∴BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0， ??????BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y＝0, ?????????????????∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；

⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面?，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于?．

?如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记?作a⊥?．

??如果a⊥?，那么向量a叫做平面?的法向量． 五、小结：

1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；

2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角.

3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：

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