九年级数学下册 5 - 2 二次函数的图像和性质 知识拓展 利用二次

利用二次函数求代数式

根据条件寻找规律写代数式，对于这样的题型许多同学感到难度大，现在告诉同学们一种方法，希望能给同学们带来帮助．

0，3，8，15，24，例1 观察下列一组数的规律并填空：?，则第2004个数是_______．

解：我们可以直接找规律，因为0?12?1，3?22?1，8?32?1，15?42?1，?第

2004个数是20042?1，若用二次函数知识可解答如下：

我们把数据按顺序编号为1，2，3，?，于是构成有序实数对(1?，，0)，(2，3)，(3，8)，在平面直角坐标系中描点并连线，观察图象的形状，近似于抛物线．

因此设所求代数式y与序号x之间的关系式为y?ax2?bx?c(a?0)． 把(1，0)，(2，3)，(3，8)代入关系式中得方程组

?a?b?c?0，? ?4a?2b?c?3，?9a?3b?c?8.??a?1，?解得?b?0，

?c??1.?于是有y?x?1．

检验：当x?4时，y?15，当x?5时，y?24． 所以点(415)，，(5，24)在抛物线上．

2所以所求的代数式为2004?1．

2例2 你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？把计算的结果填入下表：

（1）完成下表：

一边上的小圆1 2 3 4 ?

圈数 小圆圈的总数

（2）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么

m和n的关系是什么？

解：（1）图1中有1个，图2中有1?6?1?7个，图3中有1?6?1?6?2?19个，图4中有1?6?1?6?2?6?3?37个，?

（2）如果用n表示六边形上小圆圈的个数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，则由（1）的规律可得

m?1?6?1?6?2?…?6(n?1)?1?6?1?2?3?…?(n?1)?

?1?6?n(n?1)?3n2?3n?1． 2若用二次函数知识可解答如下：

把表中“一边上的小圆圈数”和“小圆圈的总数”分别作为点的横纵坐标，得(11)，， (2，7)，(319)，，?．在平面直角坐标系中，描点并连线，观察图象的形状，近似于抛物线．

2设此抛物线所对应的二次函数关系式为m?an?bn?c，

把点(11)，，(2，7)，(319)，代入，得

?a?b?c?1，?a?3，??b?c?，7 解之，得?b??3， ?4a?2

?9a?3?c?1.b?c?1.9??检验：当n?4时，m?37； 当nn?5时，m?61，

所以点(4，37)，(5，61)在抛物线m?3n2?3n?1上．

2所以m和n的关系式为m?3n?3n?1．

注：用上述方法解决类似问题虽然有些繁，但是准确有效，同学们不妨一试！