高一数学练习（平面向量与三角函数）

高一数学练习（平面向量与三角函数）

??→1．已知a?(cos400,sin400),b?(sin200,cos200)，则→a·b＝（ ）

312

C． D． 222

3?

2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）

2

→→A．→a∥b B．→a⊥b C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

A．1

B．

π

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝（ ）

12

5353A． B． C．－ D．－

2222

→→→

4．设0≤θ≤2π时， OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P1P2|的最大值是（ ）

A．2 B．3 C．32 D．23 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足 （ ） D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

??6．已知向量a?(cos250,sin250),b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（ ）

A．2

B．1

C．

→→A．→a与→b的夹角等于?－? B．→a⊥b C．→a∥b

2

2

??????7．已知a?(1,cosx),b?(1,sinx),x?(0,?)，若|a?b|?|a||b|，则tanx的值为（ ）

A.3

B.

1D．

2

2 2 C.1

D.?1

1→8．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥n，则sin2?的值为____________． 2

9．已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?)，向量a与b的夹角为30°，则cos (?–?)的值为_______ 10．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且

2sin2α＋sin2α→→→→|AC|＝|BC|，求角α的大小；（Ⅱ）若AC⊥BC，求的值． 1＋tanα

11．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；

??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44

?????25?12．已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?.（Ⅰ）求cos(???)的值; （Ⅱ）

5??5若0???, ????0, 且sin???, 求sin?.

2213

3?→13．已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b．（Ⅰ）求tanα的值； 2

α?

（Ⅱ）求cos(＋)的值．

23

14．设向量a?(1,cos2?),b?(2,1),c?(4sin?,1),d?(sin?,1)，其中??(0,的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)?|x?1|,比较f(a?b)与f(c?d)的大小.

12?4).（Ⅰ）求a?b?c?d????x?x??????x???x???15．已知a??2cos,tan????,b??2sin???,tan????.令f?x??a?b.（Ⅰ）求f?x?2?24???24??24?????的单调增区间；（Ⅱ）若x?[0,)时，f?x??m?1恒成立，求m的取值范围.

2 ????????16．已知a＝(cos?,sin?)，b＝(cos?,sin?),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb，其中k﹥0, （Ⅰ）

??????用k表示a?b；（Ⅱ）求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小．

?????????17．在直角△ABC中，已知BC＝a，∠A＝，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角

2C?????????取何值时BP?CQ的值最大 并求出这个最大值． Q

aABP高一数学练习（平面向量与三角函数）答案

1．已知?a?(cos400,sin400),?b?(sin200,cos200)，则→a·→b＝（ ）

A．1

B．32 C．12

D．

22

解：由数量积的坐标表示知→a·→b＝cos40?sin20?＋sin40?cos20?＝sin60?＝

3

2

. 2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3?

2

)，则一定有 （ ）

A．→a∥→b

B．→a⊥→b

C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

解：→a·→b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，3?2

)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·→b＝0，∴→a⊥→b．

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinπ

12

x的图象上,实数?＝（ A．52 B．32

C．－52

D．－32

解：→c＝→a＋?→b＝(6，－4＋2?)，代入y＝sinπ?

512x得，－4＋2?＝sin2＝1，解得?＝2

.

4．设0≤θ≤2π时， OP→1＝(cosθ，sinθ)，OP→2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P→

1P2|的最大值是（ ）

A．2

B．3

C．32 D．23

解：|P→1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32. 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足（ ）

A．→a与→b的夹角等于?－? B．→a⊥→b C．→a∥→b

D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

解：→a＋→b＝(cos?＋cos?,sin?＋sin?)，→a－→b＝(cos?－cos?,sin?－sin?)， ∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝cos2?－cos2?＋sin2?－sin2?＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．

或：|?a|?|?b|?1??a2?b?2?(?a?b?)?(?a?b?)?0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．

6．已知向量?a?(cos250,sin250),?b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（A．2

B．1

C．2 D．122

解：|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·→b＝1＋t2＋2t(sin20?cos25?＋cos20?sin25?)＝t2＋2t＋1＝(t＋212)2＋2

， |→u|2 1→2min＝2，∴|u|min＝2

. 7．已知?a?(1,cosx),b??(1,sinx),x?(0,?)，若|?a??b|?|?a||?b|，则tanx的值为（ ）

A.3

B.22 C.1

D.?1

） ）

1→8．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥n，则sin2?的值为____________． 212sin?cos?2tan?83→解：由→m∥n，得－sin?＝23cos?,∴tan?＝－43，∴sin2?＝2＝－． 2＝2249sin?＋cos?tan?＋1

??39．已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?)，向量a与b的夹角为30°，则cos (?–?)的值为_______

210．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且 2sin2α＋sin2α→→→→|AC|＝|BC|，求角α的大小；（Ⅱ）若AC⊥BC，求的值．

1＋tanα

解：（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，

3?

因为α∈(－π，0)，∴α＝－. 4

37

（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝，平方，得sin2α＝－.

416

2sin2α＋sin2α2sin2αcosα＋2sinαcos2α7

而＝＝2sinαcosα＝sin2α＝－．

161＋tanαsinα＋cosα

11．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；

??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44→解：（Ⅰ）假设→a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

2∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，tanx?tanx?2?0?x??，故向量→a与向量→b不可能平行．

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