2019年高考数学题型全归纳：等差数列前n项和公式的应用典型例题

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2019.5

等差数列前n项和公式的应用

等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的研究，将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力． 一、分析公式的结构特征

难得出下面的结论：

中间项．

2．当n是偶数时，a1与an的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数． 根据上述结论，可得：

性质1 等差数列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)． (因为an是前2n－1项的正中间；an，an+1是前2n项的正中间两项) 例1 (1)等差数列中，若a8=5，则S15=________． (2)等差数列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________． 解 (1)依性质1，得 S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8， 而a8=5，∴S15=15×5=75．

(2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得

a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)． 整理得 a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0， 而a5=a1＋(5－1)d， ∴a5=0．

由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．

例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由． 解 依题意，有

∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)， 故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大． 二、注意公式的变形

我们有：

例3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为 [ ]

A．30 B．170 C．210 D．260 解 已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？

均成等差数列．则

∴S3m=210．故选(C)．

S3m－S2m成等差数列．

性质3 等差数列中依次每m项和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 例4 等差数列{an}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3，

证明 由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列，