2019版一轮优化探究文数练习：第二章 第十节 函数模型及其应用

一、填空题

1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)． 解析：1×(1－50%)3＝0.125. 答案：0.125

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．

解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆， ∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)． ∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)． 答案：45.6

3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价1

格降低3，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________． 138

解析：设经过3个5年，产品价格为y元，则y＝8 100×(1－3)＝8 100×27＝2 400(元)． 答案：2 400元

4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本1

增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－20Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 1

解析：总利润L(Q)＝40Q－20Q2－10Q－2 000 1

＝－20(Q－300)2＋2 500.

故当Q＝300时，总利润最大，为2 500万元． 答案：2 500

5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按

起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

?8＋1， 0

?8＋2.15×5＋2.85×?x－8?＋1， x>8，

可得x＝9. 答案：9

6．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y万元，每年下调率平均为x%，那么y和x的函数关系式为________．

解析：每年价格为上一年的(1－x%)倍，所以五年后的价格为y＝30(1－x%)5. 答案：y＝30(1－x%)5

7．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；

②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；

③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．

某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．

10

解析：由题意付款432元，实际标价为432×9＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)． 答案：582.6

8．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元，如果购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元． ?800a＋b＝1 000

解析：设y＝ax＋b，则?，

?700a＋b＝2 000

?a＝－10解得?，

?b＝9 000

∴y＝－10x＋9 000，由400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)． 答案：860

9．一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分3

别以A，B，C，D为圆心，以b(0

解析：由题意知实线部分的总长度为l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l关于b的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l关于b为单调减函数，因此，当b取最33

大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为2，代入上式得lmin＝(2π－8)×2＋12＝3π. 答案：3π 二、解答题

10．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元． (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)

(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，

所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以 y＝f(x)＝800x＋

x?x－1?

2×20＋9 000

＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为 5?10x2＋790x＋9 000?f?x?

g(x)＝2 000x×10 000＝

x900

＝50(x＋x＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950， 900

当且仅当x＝x，即x＝30时，等号成立．

所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层． 11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品

2

4 200－x

率P与每日生产的产品件数x(x∈N*)之间的关系为P＝4 500，每生产一件正

品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元． (1)将日利润y(元)表示成产量x(件)的函数；

(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 4 200－x24 200－x24解析：(1)∵y＝4 000×4 500·x－2 000(1－4 500)·x＝3 600x－3x3， 4

∴所求的函数关系式是y＝－x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40)．

3(2)易得y′＝3 600－4x2，令y′＝0，解得x＝30. ∴当1≤x<30时，y′>0；当30

4

∴ 函数y＝－3x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．

44

当x＝30时，函数y＝－3x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－3×303＋3 600×30＝72 000(元)．

∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．

12．将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗，假定A，B两组同时开始种植．

2

(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时5 h，种植一捆沙棘树苗用1

时2 h．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？

2

(2)在按(1)分配的人数种植1 h后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为5 2

h，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时3 h，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．

解析：(1)设A组人数为x，且0

60

＝x＝x，B组植树活动所需时间为 1200×

2100

g(x)＝＝. 52－x52－x60100

令f(x)＝g(x)，即x＝，

52－x39

解得x＝2.

所以A，B两组同时开始的植树活动所需时间为 60*?， x≤19，x∈N，?xF(x)＝?100

， x≥20，x∈N*.??52－x6025

而F(19)＝19，F(20)＝8， 故F(19)>F(20)．

所以当A，B两组人数分别为20,32时，植树活动持续时 …… 此处隐藏：1623字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……