（文理通用）2019届高考数学大二轮复习第1部分专题6解析几何第3(2)

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

[解析] (Ⅰ)由题意知＝程为＋y＝1.

2

(Ⅱ)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，得

2(1＋2k)x－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.

由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 4k则x1＋x2＝

2

2

ca2222

，b＝1，结合a＝b＋c，解得a＝2，所以，椭圆的方2

x2

2

x2

2

k－

2

1＋2k2k，x1x2＝

k－

2

1＋2k. 从而直线AP与AQ的斜率之和

y1＋1y2＋1

kAP＋kAQ＝＋ x1x2

＝

kx1＋2－kkx2＋2－k＋ x1x2

?11?＝2k＋(2－k)?＋?

xx?

1

2

?

＝2k＋(2－k)×

x1＋x2

x1x2

4kk－

＝2k＋(2－k)×

2kk－＝2k－2(k－1) ＝2.

2．设点P是曲线C：x＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距5

离之和的最小值为. 4

(1)求曲线C的方程；

(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

6

2

p51

[解析] (1)依题意知1＋2＝4，解得p＝2

. 所以曲线C的方程为x2

＝y.

(2)由题意直线PQ的方程为：y＝k(x－1)＋1， 则点M(1－1

k，0)．

联立方程组?

??y＝kx－＋1

??y＝x2

，

消去y得x2

－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1)2

)．

所以得直线QN的方程为y－(k－1)2＝－1k(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x2

中，得x2＋1x－1＋1

－(1－k)2kk＝0.

解得N(1－1k－k，(1－k－12

k))．

－k－

12

所以直线MN的斜率kkMN＝

－1

k－k－

－

1k－k－12

＝－

kk. 过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－1

k)．

－k－

12

由题意有－

kk＝2(1－k－1

k)．

解得k＝－1±5

2

.

故存在实数k＝－1±5

2

使命题成立．

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