2.线性变换的基本性质与矩阵的乘法

第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法 一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

??x???x?1.数乘平面向量：设????，?是任意一个实数，则?????

?y???y?????x1???x2??x1?x2?2.平面向量的加法：设????，????，则????? ?yy?1??2??y1?y2??③切变变换：??12? ??01?性质1：设A是一个二阶矩阵，?,?是平面上的任意两个向量，?是

任意一个实数，则①数乘结合律：A(??)??A?；②分配律：

????????④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？

性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P19）

三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形

分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 ① 恒等变换：?

②旋转变换：?

③切变变换：?

④反射变换：?

A(???)?A??A?

【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形

研究y?kx?b分别在以下变换下的像所形成的图形。

?10?? 01???cos??sin?? ??sin?cos???1k? ??01??10? ??02?1??3??2?2? ②旋转变换：?3??1??22??①伸缩变换：??10?? 0?1???10?⑤投影变换：??

00??

【练习：P27】

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【应用】 2.二阶矩阵的乘积

??1

试研究函数y?在旋转变换?x???方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法

22???22?作用下得到的新曲线的22??22??a1b1??a2b2?定义：设矩阵A＝??，B＝?cd?，则A与B的乘积

cd?11??22??a1b1??a2b2?AB＝???cd?＝

cd?11??22?

【应用】

1-1??10? ＝

2121????????n?n??cos?-si??cos?-si?2.A＝? ，B＝ ??sin?co??，求AB

sin?co?ss????1.计算?

????x?1.研究任意向量????先在旋转变换R30o：???y????x'??12?过切变变换?：??作用的向量?y'?

01????

3?1?2?2?作用，再经13?22???1??10?3.求????在经过切变变换?：A=?，及切变变换?：??3???21???12?B=?两次变换后的像?。 ??01??

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?1?0??0?1?4.设压缩变换?：A＝?2，旋转变换R90o：B＝?，将两个??1??10??0???2?变换进行复合??R90o，①求向量????在复合变换下的像；②求

?3???x?????在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图

?y?形？

?0.50?x2y2??1①伸缩变换：?5.试研究椭圆②旋转变换： ?34?01?1??3???12??10?2?2??；③切变变换：??；④反射变换：?0?1?；⑤投影

0113????????22??变换：??10?五种变换作用下的新曲线方程。 ??00?进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。

【练习：P35】

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【第二讲.作业】A.B.C.D.

1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换

10.向量??3?oo

?先逆时针旋转45，再顺时针旋转15得到的向量为 ?1??10?2. 在切变变换?：??作用下，直线y=2x-1变为

?21???0.5?1?3. 在A＝?作用下，直线l变为y=-2x-3,则直线l为 ??21??10?x2y24.在??对应的线性边变换作用下，椭圆2?4?1变为

?10??5.已知平面内矩形区域为x1i?x2j（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线

??11.函数y?sin(x???20???10?)的图像经过?的伸缩变换，和的???3?01??01?反射变换后的函数是

?01??10?x2y2??1先后经过反射变换?12. 椭圆和伸缩变换???4300.510????后得到的曲线方程为

?21??12?

13.已知Ｍ＝??，且ＭＮ＝??，求矩阵Ｎ。

1101????

性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为

x2y2ｏ

??1绕原点顺时针旋转45后得到新的椭圆方程为 6.将椭圆34 7.在??10?对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 ??10?14.分别求出在?8.计算：

?10??0.50??10?、?、?对应的线性边变换作用?????20??01??00??13???11?①????＝

2404?????21???10?②????＝ ?11??1?1???10??21?③????＝

1?111?????1??11??10?9.向量??经过??和??两次变换后得到的向量为

?01??11??2?x2?y2?1变换后的方程，并作出图形。 下，椭圆4

1x2y2??1？写出相应15.函数y?先后经过怎样的变换可以得到

x44的矩阵。

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?0?1?答案：1.Ａ 2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. ?

?01??2???113?6.7x2?7y2?2xy?24?0 7.y=x（－2≤x≤0） 8. ??、

??218??1???1?1???2?1??3?x?y??sin(?) 、9. 10. 11.????????23?0?1??01??5??3??11?x22?y?1 13. ?12.? 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－3?10??2≤x≤2)、x2?y2?1 15. ??2?0?20??2??2??2???22??2?＝?1?1?

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