2019-2020年高三12月月考数学试题（文理合卷）(2)

由f??x??0得?1?x?0, 3分

则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. 4分 (2)令f??x??6分 由f?2x?x?2??1??0,得x?0,由(1)知f?x?在??1,0?上递减,在?0,e?1?上递增,

x?1?e?1?1?1?1??2?2,f?e?1??e2?2,且e2?2?2?2, 8分

e?e?e?1??x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成立.

?e?9分

(3)方程f?x??x?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

2g??x??1?2x?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1. ?1?xx?1所以g?x?在?0,1?上递减;在?1,2?上递增.

而g?0??1,g?1??2?2ln2,g?2??3?2ln3,?g?0??g?2??g?1? 10分 所以,当a?1时,方程无解;

当3?2ln3?a?1时，方程有一个解;

当2?2ln2?a?3?2ln3时,方程有两个解; 当a?2?2ln2时,方程有一个解;

当a?2?2ln2时,方程无解. 13分 综上所述,a??1,???????,2?2ln2?时,方程无解;

a??3?2ln3,1?或a?2?2ln2时,方程有唯一解;

a?(2?ln2,3?2ln3]时,方程有两个不等的解. 14分

文科生做：证明 (1)令x=0 , y= ?1则f (0?1)=f (0)?f (?1) (∵f (?1)≠0) ? f (0)=1 ……2分

当 x<0时, f (x) > 1 >0 ,

当 x>0时, ?x < 0 ∴ f (?x) > 1 >0 由f (0)= f (?x)?f (x) , 0

1<1 f(?x) 故对任意x>0，恒有0

= f (x2?x1)?f (x1) ?f (x1)= [f (x2?x1) ?1] f (x1) <0

∵x2?x1>0 , ∴f (x2?x1) <1 , ∴f (x2) – f (x1)<0

故，f (x)在(–∞，+∞)上是减函数 ……10分 (3) f (x2)?f (y2)= f (x2+y2)≤f (axy)，∴转化为 x2+y2≥axy 对任意实数x、y恒成立， 即x2+y2≥ | axy |= | a| |x| |y| 对任意实数x、y恒成立，

y ∴| a |≤|x| + ||对任意实数x、y恒成立，∴| a |≤2，即?2≤a≤2为所求．

yx ……14分