物理教材习题答案(1) - 图文(3)

请分析：

1、如何根据开普勒定律和牛顿运动定律推导出万有引力定律的数学形式？科学家如何根据此数学形式的推知存在“万有引力定律”的？

参考答案:

（1）对任意一个确定的行星，由Kepler第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为坐标轴建立极坐标，则行星的轨道方程为

r?p1?ecos?

b2b2其中p?为焦参数，e?1?2是离心率，a和b分别是椭圆的半长轴与

aa半短轴。

设在时刻t行星与太阳的距离为r?r(t)，它们的连线与坐标轴的夹角为

???(t)，则行星的坐标可表示为(rcos?,rsin?)。

记dA是半径转过角度d?所扫过椭圆中扇形的面积，则

12rd?2

（2）由Kepler第二定律，单位时间内行星扫过相同的面积，故

dA?dA12?r??常数 dt2??d?为行星运动的角速度。 dt设行星绕太阳运行一周的时间为T，经过时间T，半径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积?ab，即

?ab??则常数为

T0dA1dt?r2?Tdt2

2?abT

r2??两边对t求导得到

(r2?)'?2rdrd???r?0dtdt

d2rdrd?这里，行星沿半径方向的速度和加速度分别为和2，角加速度为，

dtdtdt则行星在x方向和y方向上的加速度分量为

d2(rcos?)d2r?(2?r?2)cos? 2dtdtd2(rsin?)d2r2?(?r?)sin?22dtdt

设r方向上的单位矢量大小为r0，于是得到加速度的大小为

d2ra?(2?r?2)r0dt

（3）对椭圆方程p?r(1?ecos?)?1两边对t求二阶导数得

d2r?r?22dt?p?r?2?0r

所以

3d2r(r2?)21122a?r??????4???pdt2r2T2r2

a3（4）由牛顿第二运动定律和kepler第三定律，2?常数，则有

T223dr4?am2F?ma?m(?r?)r??r 02220dtTr4?2a3令G?，M是太阳的质量，G称为引力常数， 2MTG?6.67?10?11(N?m2/kg2)。则

F??GMmr02r

（5）德国科学家早在16世纪就得出了行星运动三定律，但是由于当时缺乏研究变速运动的工具，直到牛顿发明了微积分，人们才成功地推导出了行星在一个恒星的椭圆轨道上运动的动力学表达式。

牛顿发现万有引力定律的思路大体如下：

① 牛顿证明了行星受到的向心力跟物体与焦点的距离的平方成反比，这一

向心力应该是太阳的引力。

② 因为地球上得重力也是随着与地心距离的增大按平方反比律而减弱的,这表明，天体的运动跟地面上物体的运动，有着共同的规律，它们应该本质上应该是同一种力。

③ 牛顿根据他的作用和反作用定律，推论引力作用是相互的。

由此，他指出这种行星或物体受到的向心力，存在于所有具有一定质量的物体之间，于是称之为万有引力，而把该力的数学表达式称为万有引力定律。 2、天王星的运动轨道与应用万有引力定律计算出来的轨道有怎样的偏离？

参考答案：

天王星在1781年被确认为是太阳系的第7颗行星，之前天文学家曾多次在望远镜中见到过它。1820年，法国天文学家布瓦德搜集当时的全部观测资料，根据天体力学原理计算天王星的运动轨道时，出现了一个奇怪的现象：他用万有引力定律算出的轨道与1781年以后的观测极不相符，其轨道观测值比理论值小。 许多年之后，布瓦德等天文学家将1750年以后在英国格林尼治天文台对各个行星所作的全部观测记录，统一地进行了复核。他们发现，除天王星以外，对于别的行星，观测记录与计算结果都能相当准确地符合。因此，他们断定：问题不是出自观测，应该在理论计算方面找原因。 3、根据这一偏差怎样预测新星的位置。

较多的天文学家提出“未知行星”假说，认为在太阳系中还有一颗比天王

星更远的行星，它的引力作用使天王星的轨道发生了偏离，这逐渐成为了一个公认的科学假说。

两位年轻的天文学家——英国的亚当斯和法国的勒威耶，根据轨道的偏离情况，假设在天王星轨道以外的地方存在这一颗行星，经过反复多次的修正和计算，基本上确定出有关未知行星的各个参数的数值，并指出了可以发现“未知行星”的天区，很快于1846年9月23日在偏离预言位置不到1度的地方这颗星被发现,它被称为海王星。

发现海王星的方法在当时是空前新颖的，后来则成为科学家们的常用方法。

第二章 刚体转动

习题解答

一、分析题

1.对于一个可绕定轴转动的刚体，若忽略摩擦力的存在，请判断下列说法是否正确。（A）刚体匀速转动的条件是合外力为零；（B）刚体加速转动的条件是合外力不为零；（C）刚体匀速转动的条件是合外力矩为零；（D）刚体加速转动的条件是合外力矩不为零。

答：（C）

??根据转动定律M?J?可知：刚体匀速转动的条件是合外力矩为零。

2.跳水运动员跳水时，为何刚起跳时要立刻把身体缩成一团，而在快入水时候又把身体展开？

答：根据角动量守恒定律，起跳时缩起身体，是为了减小J，增大?，能够快速旋转，有利于调整节奏，保证快入水时能直线进入水中；快入水时候把身体展开，是为了增大J，减小?，保证入水时能直线进入水中，减小水花，获得高分。

3.有一个垂直悬挂的细棒可以绕上端点自由旋转，开始时处于垂直静止状态，现有一水平方向快速运动的子弹，与细棒的下端碰撞，如果将细棒和子弹作为一个系统，下列说法是否正确。（A）碰撞瞬间系统所受合外力为零；（B）碰撞瞬间机械能守恒；（C）碰撞瞬间系统动量守恒；（D）碰撞瞬间系统角动量守恒。

答案：（D）

因为碰撞瞬间系统所受合外力矩为零，所以系统角动量守恒。

4.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法是否正确.（A）只与刚体质量有关，与质量的空间分布和轴的位置无关；（B）与刚体的质量和质量的空间分布有关，与轴的位置无关；（C）与刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置都有关；（D）只与转轴的位置有关，与刚体的质量和质量的空间分布无关。

答案：（C）

2根据J??rdm可知刚体对轴的转动惯量与刚体的质量、质量的空间分布

m和轴的位置都有关。 三、综合题

1. 一辆行驶速度为108km/h的汽车，车轮的外圈半径为0.5m，汽车所有车轮的转动惯量为J?20kg?m2。在t?0时刻汽车开始制动,如果总的制动摩擦力矩为Mf?100N?m，请问:(1)汽车需要多长时间可以停下来？(2)从开始制动到停止, 汽车行驶了多长距离？

解：（1）汽车的初始行驶速度为108km/h即30m/s，汽车的初始角速度为

ω0?开始制动后角加速度为

v30?rad/s?60rad/s r0.5α?则制动需要的时间为

-MfJ??100N?m2??5rad/s

20kg?m2t?ω?ω0??0?60rad/s?12s 2?5rad/s（2）从开始制动到停止，车轮转过的角度为

2?2??0?(60rad/s)2????360rad 22?2?(?5rad/s)则走过的距离为

s?r??0.5m???180m

2. 如习题图2-1所示，一绕地飞行的卫星数据为：质量为m?143kg，周期为T?98min，近地点到地心距离为r1?6670远地点到地心距km，离为r2?8890km，椭圆轨道半长轴为

b?7780km，椭圆轨道半短轴为a?7220km，试

dsrr+dr θ v1r1r2Ov2习题图2-1

求：卫星的近地点速度和远地点速度(提示: 卫星绕椭圆轨道运动的周期为

T?2πab)。 rv解：在地心引力作用下，卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒。 …… 此处隐藏：1525字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……