多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课

1．已知f(x?y,x?y)?x2?y2??(x?y)，且f(x,0)?x，求出f(x,y)的表达式。 2．（1）讨论极限lim1xy?0；解法2：令y?kx，时，下列算法是否正确？解法1：原式?limx?01x?0x?y1y?0y?0?yx原式?limxx?0sin?cos?k?0；解法3：令x?rcos?，y?rsin?，原式?limr?0。

r?0cos??sin?1?k（2）证明极限 limxy 不存在。

x?0x?yy?0x?0x?0?ln(1?xy)?3．证明 f(x,y)??x?y? 在其定义域上处处连续。

(|x|?|y|)?4. 试确定 ? 的范围，使 lim?0。 22(x,y)?(0,0)x?y?|xy|?2sin(x2?y2)x2?y2?025. 设 f(x,y)??x?y ，讨论 ?0x2?y2?0?（1）f(x,y)在(0,0)处是否连续？ （2）f(x,y)在(0,0)处是否可微？ 6. 设F( x , y)具有连续偏导数,

已知方程F(,)?0，求dz。

2xyzz?u?2u7. 设u?f(x,y,z)有二阶连续偏导数, 且z?xsint，t?ln(x?y)，求，。

?x?x?y8. 设z?f(u)，方程u??(u)?且 ??(u)?1，求 p(y)?xy其中f(u),?(u)可微，p(t),??(u)连续，p(t)dt确定u是x,y的函数，

?z?z。 ?p(x)?x?y29. 设x?u?v，y?2uv，z?ulnv，求

22?z?z,。 ?x?y10.设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数 , 又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下两式确定：

e?xy?2，e??xyxx?z0dusintdt，求。 tdx11. 若可微函数 z?f(x,y) 满足方程

z?yz?x，证明：f(x,y)在极坐标系里只是?的函数。 ?xy1

12. 在变换 u?x,v?x2?y2 下，求下面方程的解 y?z?z?x?0。 ?x?y13. 求常数a,b,c的值，使函数 f(x,y,z)?axy2?byz?cx3z2 在点(1,2,?1)处沿z轴正方向的方向导数

有最大值64。

14. 设函数 f(x,y,z)?x2?yz，

?x?t ?2(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 ?y?2t?1 在该点切线方向的方向导数；

?z?t3 ?(2) 求函数在点 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 (1) 中切线方向的夹角 ? 。 15. 直线L：??x?y?b?0，在平面?上，而?与曲面z?x2?y2相切于(1,?2,5)，求a,b之值。

?x?ay?z?3?016. 已知椭球面 x2?y2?z2?xy?yz?a2，(a?0)，

（1）求椭球面上z坐标为最大和最小的点； （2）求椭球面在xoy面上的投影区域的边界曲线。 17. 求两球面x2?y2?z2?25与x2?y2?(z?8)2?1的公切面方程，使该公切面在x轴和y轴的上半

轴上的截距相等。

18. 试求椭圆5x2?4xy?2y2?1的长轴和短轴之长。

19. 当n个正数x1,x2,?xn之和为常数时，求它们的乘积开n次方的最大值，并由此证明

nx1x2?xn?1(x1?x2??xn)。 n20．已知两平面曲线f(x,y)?0，g(x,y)?0，(?,?)和(?,?)分别为两曲线上的点，试证：如果这两

点是这两曲线上相距最近或最远的点，则

???fx?(?,?)g?(?,?)。??x???fy?(?,?)g?y(?,?)

21．设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为

D?{(x,y)|x2?y2?xy?75}，小山的高度函数为 h(x,y)?75?x2?y2?xy。

（1）设M(x0,y0)为区域D的一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向

导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式。

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。也就是说，要在D的的边界线x?y?xy?75上找出使（1）中的g(x,y)达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。

22 2

x2y2??1,(x?0,y?0) 圆周上求一点 C ，22．已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ) ，试在椭圆 94使△ABC 面积 S△ 最大 。

23．求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者。

24．求平面上以a,b,c,d为边的面积最大的四边形，试列出其目标函数和约束条件。

25．设z?z(x,y) 是由方程 6xy?2yz?z2?x2?10y2?18 确定的隐函数。已知 z(9, 3)?3，求

z?z(x,y) 在 (9, 3) 点带Peano型余项的二阶Taylor公式，判断 z?z(x,y) 在 (9, 3) 点是否取得

极值。

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