2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题(2)

mvnrn?mvfrf (8) 注意到

由(7)、(8)、(9)式可得

vn?GM?g (9) R2rf2gR (10)

rnrf?rn

vf?rnr2gvn?nR (11) rfrfrf?rn当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有

rn?R?Hn rf?R?Hf 由(11)式并代入有关数据得

vf?1.198km/s (12)

依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方

向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度Hf??Hf?5.0930?104km，但新轨道近

??6.00?102km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 地点高度Hn v?km/s (13) f?1.230卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为?t，有

m?v?f?vf??F?t (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得

?t=1.5?10s (约2.5分) (15) 这比运行周期小得多.

3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，?表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小

L?rmvsin??2m? (16 ) 其中

2??rvsin? （17）

6

12

是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故?是恒量.利用远地点处的角动量，得

??rfvf (18)

又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为

S?πab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期

T?由(18)、(19)、(20) 式得

T?代入有关数据得

12S? (20)

2πab (21) rfvf8 T?5.67?于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即

41s 0(约15小时46分) (22)

注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等

23?T??a???????T0??a0?若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有

?2π?GMm?ma?0?2a0T0??2

得

T024π24π2??23a0GMgR从而得

T?2πaaRg

代入有关数据便可求得(22)式.

4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有

GMmm2π2?mr() (23) m2rmTm 7

这里rm?r?Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得

34π2rmM (24) Mm?2gR2Tm代入有关数据得

(25)

三、参考解答：

足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；

Mm?0.012 4 MO1O1?为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2

为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直

?的夹角??表示.设足球射到横梁上时线O1OO2与水平线O1O1球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角?表示?如图?.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以??表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以?表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角?的大小.

以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，?t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有

Fx?t?mv0x?mvx (1) Fy?t?mvy?mv0y (2) 式中v0x、v0y、vx和vy分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有

Fx??Fy (3) 由（1）、（2）、（3）式得

8

??根据恢复系数的定义有

v0x?vx (4)

vy?v0y vy?ev0y （5） 因

tan?0?v0xv 0y tan??vxv y由（4）、（5）、（6）、（7）各式得

tan??1etan??1?0????1?e?? 由图可知

????? 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有

??90? (在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时??90?.由（9）式得 tan?90?????tan? (因足球是沿水平方向射到横梁上的，故?0??，有

1tan??1etan?????1??1?e?? (这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置?所满足的方程.解（12）式得

?1?2e??1???e2?1? tan???e??2??1?e???4e2 (代入有关数据得

tan??1.6 ( 9

（6） （7） （8） （9） 10) 11)

12) 13)

14)

即

? ??58 (15)

现要求球落在球门线内，故要求

??58? (16)

四、参考解答：

1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 n1B?pVB …… 此处隐藏：838字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……