模型组合讲解 - 绳件、弹簧、杆件模型（动力学问题）

模型组合讲解——绳件、弹簧、杆件模型（动力学问题）

［模型概述］

挂件问题是力学中极为常见的模型，其中绳件、弹簧件更是这一模型中的主要模具，相关试题在高考中一直连续不断。它们间的共同之处是均不计重力，但是它们在许多方面有较大的差别。

［模型回顾］

［模型讲解］

例1. 如图1中a所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为?，l2水平拉直，物体处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

图1

（1）下面是某同学对题的一种解法：

解：设l1线上拉力为FT1，l2线上拉力为FT2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡

FT1cos??mg，FT1sin??FT2，FT2?mgtan?

剪断线的瞬间，FT2突然消失，物体即在FT2反方向获得加速度。 因为mgtan??ma，所以加速度a?gtan?，方向沿FT2反方向。 你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。

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（2）若将图a中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图b所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a?gtan?，你认为这个结果正确吗？请说明理由。

解析：因为l2被剪断的瞬间，l1上的张力发生突变，故物体获得的瞬间加速度由重力的分力提供，大小为gsin?，方向垂直l1斜向下，所以（1）错。

因为l2被剪断的瞬间，弹簧的长度不能发生突变而导致弹力不能突变，所以（2）对。 拓展：在（1）中若l1、l2皆为弹性绳，剪断l2的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案a?gtan?）

若l1、l2皆为弹性绳，剪断l1的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案a?g/cos?） 在（2）中剪断l1的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案a?g）

例2. 如图2所示，斜面与水平面间的夹角??30?，物体A和B的质量分别为mA?10kg、mB?5kg。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：

（1）如A和B对斜面的动摩擦因数分别为?A?0.6，?B?0.2时，两物体的加速度各为多大？绳的张力为多少？

（2）如果把A和B位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ （3）如果斜面为光滑时，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？

图2

解析：（1）设绳子的张力为FT，物体A和B沿斜面下滑的加速度分别为aA和aB，根据牛顿第二定律：

对A有mAgsin??FT??AmAgcos??mAaA 对B有mBgsin??FT??BmBgcos??mBaB

设FT?0，即假设绳子没有张力，联立求解得gcos?(?A??B)?aB?aA，因?A??B，故aB?aA

说明物体B运动比物体A的运动快，绳松弛，所以FT?0的假设成立。故有

aA?g(sin???Acos?)??0.196m/s2因而实际不符，则A静止。

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2aB?g(sin???Bcos?)?3.27m/s

（2）如B与A互换则gcos?(?A??B)?aB?aA?0，即B物运动得比A物快，所以A、B之间有拉力且共速，用整体法mAgs?i?mBngs?i??nmAgc?o??BsmBgc?o?(msA?mB)a代入数据求出A2a?0.96m/s，用隔离法对B：mBgsin???BmBgcos??FT?mBa代入数据求出FT?11.5N

（3）如斜面光滑摩擦不计，则A和B沿斜面的加速度均为a?gsin??5m/s2两物间无作用力。

拓展：如A、B之间为轻杆，上面三问情况如何？

如A、B之间为轻质弹簧，试分析在上述三种情况下物体AB的运动情况？

例3. 如图3所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为?、在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ）

图3

A. 小车静止时，F?mgsin?，方向沿杆向上 B. 小车静止时，F?mgcos?，方向垂直杆向上 C. 小车向右以加速度a运动时，一定有F?ma/sin? D. 小车向左以加速度a运动时，F?的夹角为??arctan(a/g)

解析：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球的重力mg。

小车向右以加速度a运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为?，如图4所示，根据牛顿第二定律有：Fsin??ma，Fcos??mg，两式相除得：tan??a/g。

(ma)?(mg)，方向斜向左上方，与竖直方向

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图4

只有当球的加速度a?gtan?且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有F?ma/sin?。小车向左以加速度a运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg和杆对球的作用力F的合力大小为ma，方向水平向左。根据力的合成知F?斜向左上方，与竖直方向的夹角为：??arctan(a/g)

［模型演练］

1. （2006年无锡统考）细绳拴一质量为m的小球，小球将固定在墙上的弹簧压缩，压缩距离为x，如图5所示，若弹簧和小球不拴接，将细线烧断后：

(ma)?(mg)，方向

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图5

A. 小球做平抛运动 B. 小球加速度立即为g

C. 弹簧完全恢复原长后小球做匀速运动 D. 小球落地时动能为mgh 答案：C

2. （2006年湖南湘乡）如图6所示，在动力小车上固定一直角硬杆ABC，分别系在水平直杆AB两端的轻弹簧和细线将小球P悬吊起来。轻弹簧的劲度系数为k，小球P的质量为m，当小车沿水平地面以加速度a向右运动而达到稳定状态时，轻弹簧保持竖直，而细线与杆的竖直部分的夹角为?，试求此时弹簧的形变量。

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图6

答案：FTsin??ma，FTcos??F?mg，F?kx

x?m(g?acot?)/k，讨论：

①若a?gtan?则弹簧伸长x?m(g?acot?)/k ②若a?gtan?则弹簧伸长x?0

③若a?gtan?则弹簧压缩x?m(acot??g)/k

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