高等数学复习重要要点不挂科(2)

④被积函数中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。 例5 计算积分：⑴ ?a0a2?x2dx ⑵ ?41dx 1?x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴?f(x)dx??ababb?ca?cf(x?c)dx， f(a?b?x)dx

⑵ ?f(x)dx???ba?2b ⑷分部积分法 ?u?vdx?uv??uv?dx

关键：适当选择u?，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u?为易积函数，v为幂

函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u?为幂函数，v为不易积函数。 例7 计算积分：?arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下

面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式

Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

这里p2?4q?0，……，r2?4s?0。 ③把P(x)化为如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a) ?????? ? ?B?B1B2 ???????1(x?b)(x?b)(x?b)M?x?N?M1x?N1M2x?N2 ????(x2?px?q)?(x2?px?q)??1(x2?px?q) ?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2???? 2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x) - 6 -

x3?2x2例8 计算积分：⑴ ?2dx ⑵

x?2x?10x?3?x2?5x?6dx

五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴?x?3dx。 ⑵?sin2xdx

004?六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直线x?a，x?b[a?b]围成的图形的面积为：

S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲线x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直线y?a，y?b[a?b]围成的图形的面积为：

S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。 ⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就

得到两种类型的广义积分。 ⑴第一类广义积分 ①定义：???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??aa???a0b ?f(x)dx?lim?????bf(x)dx

?? ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim????0 ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分） ①定义：?f(x)dx?limabba???a?0f(x)dx?limb???0?bf(x)dx

??0?a??b???bf(x)dx（a是暇点） f(x)dx（b是暇点）

bc?? ?f(x)dx?lim?aa??0?cb ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?aaca??0?f(x)dx?lim??0?c???bf(x)dx（c是暇点）

②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。 ①?

??1`1dx ②x5?211dx (x?1)5 - 7 -