硕士生数值分析试卷答案2013

湖北工业大学

2013级硕士学位研究生试题

科目代号 考试时间

2013.12.26上午8:30-10:30

科目名称

考试地点 2-007;2-008

数值分析

1、答案请写在答题纸上，在此试卷上答题无效。 2、允许使用计算器

一、填空题（每小题2分，共20分）

(1) 设x的相对误差为2%，则x的相对误差是 0.02n . (2) 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，则差商f[x0,x1]= 0 ，f[x0,x1,x2]= 0 . (3) 设lj(x)(j?0,1,2?n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，xj为互异节点，则

n?l(x)? 1 ；?(xjj?0nnj?x)klj(x)? 0 .

bj?0(4) 插值型求积公式n 次代数精确度.

?baf(x)dx??Akf(xk)的求积系数Ak?k?0n?l(x)dx,k?0,1,?,n，至少具有

ak(5) 梯形求积公式具有 1 次代数精度,辛普生求积公式具有 3 次代数精度. (6) 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算. (7) 非线性方程f(x)=0的牛顿迭代格式为xn?1?xn?处是 2 阶收敛，在重根处是 1 阶收敛. (8) .设A??f(xn)f(xn)使用该迭代格式在单根(n?0,1,2,?)，

?0.60.5??，则A?= 1.1 ，A1= 0.8 .

0.10.3??(9) 已知实对称矩阵的全部特征值为?1,?2,?,?n, 则条件数Cond2(A)=

?max. ?min(10) 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 ?(B)<1 .

二、(10分) 取99的6位有效数9. 94987，则以下两种算法各有几位有效数字？(要误差分析过程，

不要直接计算的结果！)

1

10?99?10?9.94987?0.05013

?

111???0.0501256399? ?

10?9910?9.9498719.94987解：记x?99,x*?9.94987,e(x)?x?x*，则

e(x)?由e(10?x)??e(x)得

1?10?5 2e(10?x)?e(x)?因而算式?

1?10?5 210?99?10?9.94987?0.05013

至少具有4位有效数字. 又由

e(10?x)e(x)?1? e??????2210?x(10?x)(10?x)??得

1?10?5e(x)?1??72e????0.1256?10 ?22(10?9.94987)?10?x?(10?x)因而算式?

111???0.0501256399?

10?9910?9.9498719.94987至少具有7位有效数字.

三、(10分)求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式. 解：由Lagrange插值公式得

?2x?xj??ykL2(x)??????k?0?j?0,j?kxk?xj?(x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)??1??2??3 (0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?x?1.2

四、(10分) 设M2?span{1,x2}，试在M2中求f(x)?x在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元.

2

解：设?0(x)?1,?1(x)?x2，则f(x)在M2中的最佳平方逼近多项式为

P(x)?a0?0(x)?a1?1(x)

则有如下正则方程组

?(?0,?0)(?0,?1)??a0??(?0,f)???a?????(?,f)?? ?(?,?)(?,?)???11??1??1??10即

??2??2??3解得a0?2??a??1?03??????1? ??2??a1????2??5?315,a1? 16163152?x. 1616故最佳平方逼近多项式为P(x)?

五、(10分)给定求积公式

?10f(x)dx?Af(0)?Bf(0.5)?Cf?(0)，试确定A,B,C，使其代数精度尽

可能的高，并指明此时求积公式的代数精度,然后估计求积公式的误差. 解：分别将f(x)?1,x,x2，代入求积公式，可得

1??A?B??01?dx?1,?11?B?C?xdx?, ??02?1?B?x2dx?1.?0?3?解得A?211,B?,C?，求积公式为 336?310f(x)dx?211f(0)?f(0.5)?f?(0). 336令f(x)?x时求积公式不精确成立，从而精度为2.

3由于此求积公式的代数精度为2，故余项表示式为R[f]?Kf???(?),令f(x)?x，得f???(?)?3!,于是

111?2?Kf???(?)??x3dx??f(0)?f(0.5)?f?(0)?,

036?3?从而

K?1?13111?2????0xdx??f(0)?f(0.5)?f?(0)????. 3!?3672?3??3

故得R[f]??

1f???(?),??(0,1). 72六、(10分)证明解y??f(x,y)的梯形格式

hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]

2是二阶的，并求出局部截断误差的主项. 证：局部截断误差为 Tn?1?y(xn?1)?y(xn)?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] 2h2h3h?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn?1)]?O(h4)

23!2h2h3hh2?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)]?O(h4)

23!22h3??y???(xn)?O(h4)

12h3y???(xn). 所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为?12

n七、(10分)应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和f(x)?1?a?0，分别导出求na的迭代公式. nx解：

八、(10分)用直接三角分解(Doolittle分解，LU分解)求解下列线性方程组：

11?1x?x??41526x3?9,?11?1?x1?x2?x3?8,

45?3?1x?x?2x?0.123??2

4

解：

?1??4?1?3?1??2从而

151411??1?r2?4r1?36??441?r3?2r1?????0??5??2??0??11??1??56??4113?36r2????r????0?6045??35???053??11??56?11??? 6045?13?0?15??1?4L???3?2?先求解Ly=b,得

再求解Ux=y，得 九、(10分)对方程组???1???4??,U??01?????361??0?11??56?11??? 6045?13?0?15??32??x1??3?????，若用迭代法 ????????12??x2???1?x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?

求解，首先写出迭代格式的迭代矩阵，再讨论?在什么范围内取值可使迭代收敛，?取什么值可使迭代收敛最快？

解：迭代矩阵B?E??A，

A的特征值为1,4，故B的特征值为1??,1?4?. 谱半径?(B)?max{1??,1?4?}. 要使迭代收敛，则?(B)?1,从而当?当???0.4,?(B)最小，收敛最快.

1???0时收敛， 2 5