河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题

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河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1．已知集合A ＝{x ｜0＜x ＜2}，B ＝{x ｜｜x ｜＞1}，则A ∩B ＝

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（－∞，－1）∪（0，＋∞）

D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

2．若复数z 满足（1＋i ）z ＝2－z ，则｜z ＋i ｜＝

A ．12

B

． C ．2 D

3．已知命题p ：x ?∈R ，x －2＞lgx ，命题q ：x ?∈R ， 2x ＞0，则

A ．命题p ∨q 是假命题

B ．命题p ∧q 是真命题

C ．命题p ∨（?p ）是假命题

D ．命题p ∧（?p ）是真命题

4．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，a ⊥b ，则a －2b 在a 方向上的投影为

A ．1 B

． C ．－1 D

5．已知锐角α的终边上一点P （sin40°，1＋cos40°），则α

等于

A ．10°

B ．20°

C ．70°

D ．80°

6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于

A ．63

B ．31

C ．127

D ．15

7．已知抛物线2

y ＝4x 与双曲线22

221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）有 相同的焦点F ，点A ，B 是两曲线的交点，若（OA uu r ＋OB uu u r ）·AF uuu r ＝0，则双曲线的

离心率为

A

． 2 B

． 1 C

＋1 D

＋1

8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为

A ．4π

B ．8π

C ．12π

D ．16π

·2· 9．设变量x ，y 满足约束条件：,4,2,y x x x ?????

≥＋3y ≤≥－则z ＝｜x －3y ｜

的最大值为

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

10．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，2n S ＝4（a 1＋a 3＋…＋21n a －），a 1a 2a 3＝27，则a 6＝

A ．27

B ．8l

C ．243

D ．729

11．给出下列四个结论：

①若a ，b ∈[0，1]，则不等式22a b ＋≤1成立的概率为4π

；

②由曲线y ＝3x 与y

0．5；

③已知随机变量ξ服从正态分布N （3，2σ），若P （ξ≤5）＝m ，则P （ξ≤1）＝

1－m ；

④8的展开式中常数项为358

． 其中正确结论的个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．已知函数f （x ）满足f （x ）＝f （1x ），当x ∈[1，3]时，f （x ）＝lnx ，若在区间[13

，3]内，曲线g （x ）＝f （x ）－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是

A ．（0，1e ）

B ．（0，12e ）

C ．[ln 33，1e ）

D ．[ln 33，12e

） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题．每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，

则不同的赠送方法共有_______种．

14．若圆C ：22x y ＋＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切

线长的最小值是_____________。

15．已知函数y ＝f （x －1）＋2x 是定义在R 上的奇函数，且f （0）＝－1，若g （x ）＝1－

f （x ＋1），则

g （－3）＝______________

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16．已知数列{n a }通项公式为n a ＝－n ＋p ，数列{n b }通项公式为n b ＝52n －，设n c ＝(),(),

n n n n n n a a b b a b ??

?≤＞若在数列{n c }中，8c ＞n c （n ∈N ﹡,n ≠8），则实数p 的取值范围是_______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA ＋sinB ＝2sinC ，a ＝2b ． （Ⅰ）证明：△ABC 是钝角三角形；

（Ⅱ）若ABC S ?c 的值． 18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），

求X 的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面

BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1

＝2，∠BCC 1＝60°。

（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）设CE uur

＝λ1CC uuu r （0≤A ≤1），且平面AB

1E 与BB 1E

所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

20．（本小题满分12分）

已知直线l 的方程为y x －l 过椭圆C ：22

221x y a b

＋＝

（a ＞b ＞0）的 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．

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