圆的基本性质复习优质课教学设计

《圆的基本性质》复习课

教材分析：《圆的基本性质复习》选用义务教育教科书《数学》（浙教版）九年级上册，圆的基本性质是初中数学重要的学习内容之一.本套教材将《圆的基本性质》内容设置为14个课时，安排在直线与圆的位置关系之前，起到了承上启下的重要作用。同时以前所学的特殊三角形、四边形、多边形等内容相互联系紧密，尤其是直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系依赖于圆的基本性质知识.本章中圆的基本性质由圆的轴对称性和旋转不变性得出垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论，注重逻辑推理，量与量之间转化和计算需要思维灵活性，为培养学生探究意识、应用意识和创新意识提供了机会.

教学目标：

1.在引入过程中回顾圆的轴对称性和旋转不变性，进一步掌握由这两个性质得

到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论.

2.利用圆的基本性质的三类问题的探究，熟悉圆中不同量之间转化，初步掌握

圆中常见辅助线添法，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力.

3.在学习过程中，学生感受圆之美，体验分类讨论思想、转化思想、方程思想

在解决圆中问题的重要性.

教学重点：利用垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论解决

问题.

教学难点：对例题进行分析探究，辅助线的添法是难点.

教学过程：

一、问题导入，激活旧知

问题一：观察圆形纸片，你能找到圆心吗？

预设1：对折两次，两条折痕的交点就是圆心.

预设2：折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质.

预设3：两条直径产生的对应两条弧相等.

设计意图：

一方面通过动手和直观观察，体现圆具有轴对称性和旋转不变性，圆的这两种

性质使得圆中六种基本量：圆心角、圆周

角、弧、弦、弦心距、直径之间具有特殊

的关系，培养学生用数学的眼光观察世

界，培养动手能力、发展直观想象的数学

核心素养.

问题二：能否把圆中重要定理用基本

图形加以表示？

预设1：让学生初步回顾垂径定理及逆定

理、圆心角定理、圆周角定理及推论.

预设2：呈现完整本节课复习重点的PPT.

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设计意图：

一方面通过教师启发，对旧知回顾，发展数学抽象、归纳的数学素养.

二、基本应用，学会思维

（一）长度计算问题

1. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C = 45 °，求这个人工湖的直径

.

问题三：在圆中，你想到用什么方法求弦的长呢？

设计意图：

进一步会构造直角三角形，体会方程思想解决问题，理解在圆内“半径、半弦、弦心距、弓高”四者可知二推二，掌握解决圆内的长度计算问题的基本方法，就是构造等腰、双半、直径直角三角形.渗透“转化思想”和“方程思想”.

（二）角度计算问题

2.如图1，已知⊙O的半径为5cm，弦BC=3

5

cm.则BC的度数为 ;弦BC

所对的圆周角为 .

变式1：如图2，原题中，若⊙O的两条弦AD,BC相交于点E,B是AD 的中点，则∠AEB的度数为 .

变式2：如图3, 原题中，若点E在弦BC上，且OE=4,所有过点E的弦中，长度为整数的弦有条.

变式3：如图4,已知⊙O的两条弦AD=BC,且相交于点E,求证：AE=CE.

问题四：在圆中，如何转化弧、弦、角之间的关系？

预设1：等腰三角形、圆心角定理及推理、圆周角定理及推论.

预设2：需要添加的辅助线能否顺利探求完成.

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设计意图：

会利用好等腰三角形、圆心角定理及推理、圆周角定理及推论，体会转化思想，

掌握解决圆内的角度计算问题的方法.在图形的生长中，体验一弦对两弧，求弦所

对的圆周角要分类，两弦在圆形心的同侧或异侧要分类，灵活转化弧、弦、角的关

系.

通过此例题的合作探索，基于圆的基本性质（垂径定理及逆定理，以及圆心角

定理、圆周角定理及推论），充分利用好“双半直角三角形、直径直角三角形”这一

工具，对弧、圆心角、圆周角之间的进行熟练转化，对学生在思维上有了足够训练。

三、拓展应用，提升思维

3.如图，已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O中，且对角线AC⊥BD于点P.

（1）请结合图形写出四个不同的结论；

（2）若OF⊥CD于F,求证:AB=2OF.

（3）若AB=2,CD=4,求R.

（4）如图2，过点P的直线EF分别交一组对边于点E,F, 若PE⊥AB. 求证CF=DF. (课后思考

)

设计意图：

暨体现经典题文化价值，又要体现基本图形的作用。给出条件及图形，介绍四边形名称，然后可以按（1）、（2）、（3）顺序展开，若学生在第（1）问中得不出线段平方和与半径平方关系时，老师不要给出。可以在解决第（3）小题后，从特殊到一般追问。

对学生巩固知识，熟练运用构造Rt△，灵活转化弧、弦、角的关系发展逻辑思维，提高解题技能，提高分析问题解决问题的能力十分有益.

四、归纳小结，升华思维

本节课的复习导图：

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