精编2022高考数学(理科)习题第四章三角函数442和答案

1．钝角三角形ABC 的面积是12

，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2

D ．1 答案 B

解析 由题意知S △ABC ＝12

AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22

. ∴B ＝45°或B ＝135°.

当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22

＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；

当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×? ????－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12

，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )

A ．bc (b ＋c )>8

B ．ab (a ＋b )>16 2

C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24

答案 A

解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]

＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12

.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B －C )]＝12

，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B

－C )]＝12

， 即得sin A sin B sin C ＝18

.根据三角形面积公式 S ＝12

ab sin C ，① S ＝12

ac sin B ，② S ＝12

bc sin A ，③ 因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.

3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3

，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( )

A ．8

B ．12

C ．16

D ．21 答案 B

解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·? ????a ＋b 22＝316

λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.

4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏