高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(3)_向量、解

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第五章 平面向量、解三角形

第二节 解三角形

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

1.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c

若a c ==且75A ∠=o ，则b =

( ) A.2 B ．4

＋．4

—

答案 A

解析

0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2

B =

由正弦定理得1sin 2sin 2

a b B A =?==,故选A 2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5

A =-，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213

- 答案 D

解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125

-

知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由13

12cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和. 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12cot 5

A =-， 则cos A = ( ) A. 1213 B.513 C.513- D. 1213- 答案 D

解析 已知ABC ?中，12cot 5A =-，(,)2

A ππ∴∈.

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12cos 13

A ===- 故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC

B A ==则cos A

C A

的值等于 ， AC 的取值范围为 .

答案 2)3,2(

解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ

=∴=?= 由锐角ABC ?得0290045θθ<

又01803903060θθ<-

，故23045cos 2

θθ<

<<， 2cos AC θ∴=∈

5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ，已知22

2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理

有:2222223,22a b c b c a a c ab bc

+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22

2a c b -=,0b ≠.

所以2cos 2b c A =+ ① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

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sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b B C c =，故4cos b c A = ②

由①，②解得4b =.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满

足cos 2A =，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

解 （1）

因为cos 2A =，234cos 2cos 1,sin 255

A A A ∴=-==，又由3A

B A

C ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22

ABC S bc A ?∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=

，a ∴=

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满

足cos 25

A =，3A

B A

C ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5

31)552(212cos 2cos 22=-?=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=

-=A A

，而353cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25

4521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=-+=A bc c b a

8.（2009北京理） 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π

=

，

4cos ,5

A b ==。

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（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）求ABC ?的面积.

【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π=

=， ∴23,sin 35

C A A π=-=，

∴21sin sin sin 32C A A A π??=-=+= ???.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin ,sin 5A C =

=，

又∵,3

B b π

==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5

b A a B ==. ∴△ABC

的面积116sin 225S ab C ==?=. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2) 设A,B,C 为?ABC 的三个内角，若cosB=

31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+3

π)+sin 2

x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)

的最大值为

12+,最小正周期π. （2）()2c

f

=122C -=－4

1,

所以sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π

=,

又因为在?ABC 中, cosB=31, 所以

sin B =所以

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11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=

+=. 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2π???

<<-+x x x 在π=x 处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1=

=b a 23)(=A f , 求角C.

解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ??+=?+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+

因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为0?π<<,所以2π?=

.所以()sin()cos 2f x x x π=+= （2）因为23)(=

A f ,

所以cos A =,因为角A 为?ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a b A B

=,

也就是sin 1sin 22

b A B a ===, 因为b a >,所以4π=B 或4

3π=

B . 当4π=B 时,76412

C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ，2

3cos ) …… 此处隐藏：12478字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……