年苏锡 常 镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准

2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）

数学参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，满分50分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B C B C C C

二、填空题（每小题5分，满分30分）

11

． 12. 70 13. [2,5] 14. －2 15.1336 16.30 三、解答题

17．（1）21111()cos sin (cos21)sin 22222f x x x x x x ωωωωω=+?-

=++-

).4

x πω=

+

2,1,()).224T f x x πππωω==∴=∴=+Q

Q 当28x ππ-≤≤时，32.442x πππ-≤+≤ ∴当242x ππ+=-

时，())4f x x π=+

取得最小值为

（2）令24x k ππ+=，得4,228k k x k Z ππππ-==-∈

∴当0k =时，8x π=-，当1k =时，38x π=， ∴满足要求的对称中心为(,0).8π

-

18．解：（1）取AB 中点O ，连接1.A O 设.AB a =

11,,,AD AA AD AB AA AB A ⊥⊥=Q I

AD ∴⊥平面11,AA B B AD ?而ABCD

∴平面11AA B B ⊥平面ABCD .

111,AB AA A B a AO AB ===∴⊥Q ，

1AO ∴⊥平面ABCD .

1A AB ∴∠为直线1A A 与平面ABCD 所成的角. 160A AB ∠=o Q ，

∴直线1A A 与平面ABCD 所成角的大小为60o

（2）过O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连结CH .

//,OC DA DA ⊥Q 平面11AA B B ，

CO ∴⊥平面11.AA B B

11,.OH A B CH A B ⊥∴⊥Q

CHO ∴∠为二面角1C A B A --的平面角. 在正1A AB ?

中，1sin sin 60224a OH OB A BA OB =∠==

?=o 在Rt COH ?

中，,tan OC OC a CHO OH =∠=== ∴二面角1C A B A --

（3）存在。当点P 为棱1C C 中点时，1//D P 平面1.A BC 证明如下（方法一）： 延长1D P 与DC 交于Q ，连结BQ ， Q 点P 为棱1C C 中点，

PC ∴为1D DQ ?的中位线. .QC DC ∴=

由条件，得四边形ABQD 为正方形. 11BQ AD A D ∴==，且11////.BQ AD A D 则四边形11A BQD 是平行四边形. 11//.D P A B ∴

1D P ?Q 平面11.A BC A B ?平面1.A BC 1//D P ∴平面1.A BC

或证明如下（方法二）： 延长BC 与AD 交于F ，连接1A F 交1D D 11//,,CP D E CP D E =Q

∴四边形1CPD E 为平行四边形.

1//.D P EC ∴

EC Q 为1A BF ?的中位线，

1//EC A B Q ，则11//.D P A B

1D P ?Q 平面11.A BC A B ?平面1.A BC

1//D P ∴平面1.A BC

19．解：（1）1n =Q 时，1134014a a =+，得12007a =

2n ≥时，34014n n S a =+，

1134014n n S a --=+，

两式相减得：13n n n a a a -=- 即：112

n n a a -=- ∴数列{}n a 为首项12007a =，公比为12

-的等比数列， 112007().2

n n a -∴=- （2）(1)2121111()20072007()2007()2007()2007()2222

n n

n n f n --=?-?-??-=-Q L 211111(1)20072007()2007()2007()2007()2222

n n f n -+=?-?-??-?-L |(1)|2007|()|2

n f n f n +∴= ∴当10n ≤时，

|(1)|1|()|f n f n +>，当10n >时，|(1)| 1.|()|f n f n +< |(1)||()||(1)|,|(11)||(12)||(13)|f f x f f f f ∴<>>>L L 又111010

911102211(11)2007()0,(10)2007()0,22

f f ??=-<=-

f f ??=->=->， （或从(11)f 共6正5负相乘，(10)f 共5正5负相乘，(9)f 共5正4负相乘，(12)f 共6正6负相乘也可判断符号）

∴只需比较(9)f 与(12)f 的大小，就可以确定()f n 的最大值， 又3333010(12)200720072007()()1,(9)221024

f f ===>Q (12)(9),f f ∴>

综上：12n =时，()f n 有最大值.

20．（I ）当120AC F F ?=u u u r u u u u r 时，221212211cos ||9

AF AF F AF AF AF ?∠==u u u r u u u u r u u u u r u u u r 213||||.AF AF ∴=u u u u r u u u r 由椭圆定义，得21123||||2,||,||.22

a a AF AF a AF AF ==∴=

=u u u u r u u u r u u u r u u u u r 在12Rt AF F ?中，22

222212129||||||,4.44

a a AF AF F F c -=∴-=u u u r u u u u r Q

c e a ∴== （II

）由e =

，得.b b c a ==∴= 椭圆方程化为22

2212x y b b +=，即22222.x y b += 焦点12(,0),(,0),F b F b -

设001122(,),(,),(,).A x y B x y C x y

（1）当直线AC 的斜率存在时，直线AC 的方程为00().y y x b x b

=-- 代入椭圆方程，得22220000

(32)2()0.b bx y by x b y b y -+--= 220022032b y y y b bx ∴=--，则020

.32by y b x =-- 0022232||.||y b x AF n F C y b

-∴===- 同理可得032.b x m b

+= （2）当直线AC 的斜率不存在时，321,5, 6.b b n m m n b +==

=+= 综上所述，m n +是定值6.

21．解：（1）22()(3)30f x a x a x a >∴+-->Q

(3)()0x x a ∴-+>对[1,2]x ∈恒成立，

又30x -

,a x ∴<-又[2,1]x -∈--，

2.a ∴<-

（2）由22(3)4(3)0a a a ?=---≥得：13a -≤≤，

不妨设a p =，则q ，r 恰为方程两根，由韦达定理得：

①23,3,p q r qr a a ++==-

∴②22222222()2(3)2(3)9p q r a q r pr a a a a ++=++-=+---= ③而333333()p q r a q r ++=++

322()[]a q r q qr r =++-+ 323927.a a =-+

设32()3927g a a a =-+，求导得：2()9189(2)g a a a a a =-=-

当[2,3]a ∈时，()0,()g a g a >递增；当[0,2]a ∈时，()0,()g a g a <递减； 当[1,0]a ∈-时，()0,()g a g a >递增，

()g a ∴在[1,3]-上的最小值为min{(1),(2)}min{15,15}15g g -==

（3）3211

()[()27](39),6

6

H a g a a a =--=-- 如果(0,1)a ∈，则231()33(1)022

H a a a a a '=-=-> ()H a ∴在(0,1)为递增函数， 3211()((0),(1))(0,1),()(39)6

n n n n H a H H a H a a a +∴∈===--Q 12(0,1)(0,1)(0,1)n a a a ∴∈?∈??∈?L L 又3211

31(2)(1)0222

n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=---