2009年高考数学试题分类汇编——推理与证明

2009年高考数学试题分类汇编——推理与证明

1、(湖北卷理) 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 10.【答案】C

【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a

n

n

(n 1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn n2，则由2

bn n2(n N )可排除A、D，又由an

n

(n 1)知an必为奇数，故选C. 2

2、（江苏卷）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个

正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

3、（北京卷理）14．已知数列{an}满足：a4n 3 1,a4n 1 0,a2n an,n N ,则a2009 ________；

a2014=_________.

【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得a2009 a4 503 3 1，a2014 a2 1007 a1007 a4 252 1 0.

∴应填1，0.

4、(湖南卷) 15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），

在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=

10

，…，3

f(n)=

1

(n+1)(n+2) 6

15.【答案】：

101

,(n 1)(n 2) 36

n=3

时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知

【解析】当

a b c 1,x1 x2 a b,y1 y2 b c,z1 z2 c a

x1 x2 y1 y2 z1 z2 2(a b c) 2,2g x1 y2 x2 z1 y1 z2 6g x1 x2 y1 y2 z1 z2 2(a b c) 2

即g

11110而f(3) a b c x1 x2 y1 y2 z1 z2 g 1 3233

进一步可求得f(4) 5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加 ，f(4)中有15个数相加….，若f(n 1)中有an 1(n 1)个数相加，可得f(n)中有(an 1 n 1)个数相加，且由

363 331045f(1) 1 ,f(2) f(1) ,f(3) f(2) ,f(4) 5 f(3) ,...

3333333

n 1

,所以 可得f(n) f(n 1) 3n 1n 1nn 1nn 13

f(n) f(n 1) f(n 2) ... f(1)

3333333

n 1nn 13211

(n 1)(n 2) =3333336

5、(浙江卷)15．观察下列等式：

1 C5 C55 23 2，

159

C9 C9 C9 27 23， 15913C13 C13 C13 C13 211 25， 1593

C1C1 7 C1 7C 171C7

17

27 125， 1

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n 1

对于n N，C4n 1 C4n 1 C4n 1 C4n 1 ．

*

答案：2

4n 1

1 22n 1

n

n

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 1 ，二项指数分别为2

*1594n 1

24n 1 1 22n 1 于n N，C4n 1 C4n 1 C4n 1 C4n 1

n

4n 1

,22n 1，因此对