高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4

平面向量的数量积

1.向量的数量积a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉. 2.向量的投影 a· b |a| 向量 b 在 a 方向上的投影等于___ .

3.向量数量积的坐标表示 x1x2+y1y2 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=____________. 4.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 b>0 a 与 b 的夹角是锐角 a· 且 a 与 b 不共线； b<0 a 与 b 的夹角是钝角 a· 且 a 与 b 不共线.

2 1 1.已知向量 a= sin , 的模为 2 ,则 cos2θ 等于( D ) 2 1 A.4 1 B.-4 1 C.-2 1 D.2

2.设向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是( D ) A.|a|=|b| C.a∥b B.a· b= 2 D.a-b 与 b 垂直

π π π 3.若|a|=2sin ,|b|=2cos ,a 与 b 的夹角为 ，则 a· b 12 12 6 的值为 ( A ) A. 3 2 B. 3 C.2 3 D. 1 2

4.已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),若 a∥b,则 tanα 4 - 3 3 = 4 ;若 a⊥b,则 tanα=___.

5.已知向量 a、b 满足|a|=6,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为

2 19 6 3 60°,则|a+b|=______,|a-3b|=______.

考点 1 向量的数量积运算→ → → 例 1:已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB(5,1),点 O 为坐标原 → 点， C 是直线 OP 上一点， → · 的最小值及取得最小值时 点 求CA CB cos∠ACB 的值.

→ CB → 解题思路：引入变量，将CA· 表示成所引入变量的函数.

→ 解析：由于点 C 是直线 OP 上一点，设点 C(2m,m),∴CA → → CB → =(1-2m,7-m),CB=(5-2m,1-m),CA· =5(m-2)2-8, → CB → → ∴m=2 时，CA· 的最小值为-8;而 m=2 时，CA=(-3,5), → CB -4 17 → CA· → CB=(1,-1),cos∠ACB= = 17 . → ||CB| → |CA

【互动探究】

图 8-2-11.如图 8-2-1,在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，下 列向量的数量积中最大的是( A ) →→ A.AB· AC →→ C.AB· AE →→ B.AB· AD →→ D.AB· AF

考点 2 向量的数量积的应用

→ → → → → → 例 2:已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1+OP2+OP3=0, → → → |OP1|=|OP2|=|OP3|=1.求证：△P1P2P3 是正三角形.→ → → 解题思路：由|OP1|=|OP2|=|OP3|=1 知 O 是△P1P2P3 的外接圆 → 的圆心，本题只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1 即可，由OP1 → → +OP2+OP3=0 变形可出现数量积，可求夹角.

→ → → → → → 证明：∵OP1+OP2+OP3=0,∴OP1+OP2=-OP3. → → → ∴|OP1+OP2|=|-OP3|. → → → OP → ∴|OP1|2+|OP2|2+2OP1·→2=|OP3|2. → 1|=|OP2|=|OP3|=1,∴OP1·→ 2=-1. → → → OP 又∵|OP 2 1 → → ∴|OP1||OP2|cos∠P1OP2=- ,即∠P1OP2=120° . 2 同理∠P1OP3=∠P2OP3=120° ∴△P1P2P3 为等边三角形. ,

【互动探究】

2. 已知△ABC 的三个内角分别为 A、 C, B、 向量 m=(sinB, 1 1-cosB)与向量 n=(2,0)的夹角的余弦值为2.求角 B 的大小.

解：∵m=(sinB,1-cosB),n=(2,0), m· 1 n ∴cos〈m,n〉=|m|· =2, |n| 2sinB 1 即 = 2. 2 2-2cosB ∴2cos2B-cosB-1=0. 1 解得 cosB=-2或 cosB=1(舍去). 2π ∵0<B<π,∴B= 3 .

错源：忽略其他条件 例 3:已知直线 y=2x 上一点 P 的横坐标为 a,有两个点 → → A(-1,1),B(3,3),求使向量PA与PB夹角为钝角的充分必要条件.

→ → 误解分析：错误使用PA与PB夹角为钝角的充分必要条件， → PB → 用PA· <0 解出 0<a<2.

→ 正解：点 P 在直线 y=2x 上，所以点 P 坐标为(a,2a),PA= → → → (-1-a,1-2a),PB=(3-a,3-2a),向量PA与PB夹角为钝角的 → PB → → PB → 充要条件是PA· <0,并且 P、A、B 三点不共线.PA· =(-1 -a)(3-a)+(1-2a)(3-2a)=5a2-10a, → → 由 5a2-10a<0,得 0<a<2,由PA和PB不共线， 得(-1-a)(3-2a)≠(1-2a)(3-a),解出 a≠1. → → 即PA与PB夹角为钝角的充要条件是 0<a<1 或 1<a<2.

【互动探究】3.如图 8-2-2,平面四边形 ABCD 中，AB=13,AC= 3 → → 10,AD=5,设∠CAD=α,∠CAB=β,cosα=5,AB· =120. AC (1)求 cos(α+β); → → → (2)设AC=xAB+yAD,求 x、y 的值.

图 8-2-2

→ AC → 解： (1)由AB· =120 得，→ |·→ |cosβ=120, 13×10· |AB |AC 即 cosβ 12 5 4 =120,∴cosβ=13,sinβ=13,sinα=5,∴cos(α+β)=cosαcosβ 3 12 4 5 16 -sinαsinβ=5· -5· =65. 13 13 16 → AB → (2)AD· =5×13×cos(α+β)=5×13×65=16. → → → → AC → → AB → → AB → ∵AC=xAB+yAD,∴AB· =xAB· +yAD· =120,即 → AC → → AB → → AD → 169x+16y=120.同理AD· =xAD· +yAD· =5×10×cosα 3 =5×10×5=30,即 16x+25y=30. 40 50 解得 x=63,y=63.

例 4: 已知 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), 其中 0<α<β<π. (1)求证：a+b 与 a-b 互相垂直； (2)若 ka+b 与 a-kb 的长度相等， β-α 的值(k 为非零的 求 常数).解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充 要条件 a⊥b x1x2+y1y2=0 与三角函数的综合运用.

解析：(1)∵(a+b)· (a-b)=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)= 0,∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ); a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ), |ka+b|= k2+1+2kcos β-α , |a-kb|= k2+1-2kcos β-α , π 而|ka+b|=|a-kb|,则 cos(β-α)=0,∴β-α=2.