初中数学竞赛专题选讲

初中数学竞赛第二讲：分式（一）

钮彬 滕芳蕾

一、内容提要

1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

(1)分式A中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。B

分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。

A都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 B

A(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。 B(2)若A、B及

2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。

二、例题

x2 2x 3例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？ x2 2x

x2 2x 3（x 1)(x 3)解： ＝ x(x 2)x2 2x

3

以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；

当x<－2, －1<x<0, x>3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数） 当－2<x<－1, 0<x<3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）

2m 7的值是正整数？ m 1

92m 72m 2 9解：＝＝2＋ m 1m 1m 1

x 4x 2x 2x 4当例3．计算＋－－ x 1x 3x 1x 3

9＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数 m 1例2．m取什么值时，分式

即m－1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略）

解：用带余除法得，原式＝1＋3131＋1＋－1－－1－ x 1x 1x 3x 3

＝3(x 1) 3(x 1)(x 3) (x 3)＋ (x 1)(x 1)(x 3)(x 3)

－6648＋＝ x2 1x2 9(x

2 1)(x2 9)＝

a2 ab4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a∶b∶c ②2 c bc

解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式

得a=2k, b=k, c=3k

a2 ab(2k)2 2k k1∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②2＝＝ 6c bc(3k)2＋k 3k

例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？

解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9, 0≤y≤9 10x y9x＝1＋ x yx y

当x取最小值1，y取最大值9时，分式9x的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，x y

分式9x的值最大。 x y

答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。

三、练习

1． a=___时，分式a 2

a2 a 6的值是0

2x 2y z 0x2 y2 z2

2． 已知 则分式2＝＿＿＿＿ 22x 2y z 0x y z

3． 若x和分式3x 2都是整数，那么x=_______________ x 1

1211)-______ ②(x2+2+2)÷（x+)=____ xxx4． 直接写出结果: ① x＋21

x2=(x+

③ （x2-11111) 2)＝＿＿＿＿ ）÷（x+）=__＿＿ ④（1＋（1－2xxxxx

5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 1

1＋

1＋

111＋x