角平分线定理和直角三角形的射影定理

选修 4-1

几何证明选讲

第一讲 相似三角形的判 定及有关性质角平分线定理及直角三 角形的射影定理

复习一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线 , 所截的对应线段 成比例 .

练习： 练习： 1、如图，在 ABC中，AP是 ABC的内角平分线， D AB PB 求证： = AC PCA

B P

C

三角形内角平分线定理：三角形一个角的平分线 三角形一个角的平分线 分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成 比例， 比例，

2、如图，在 ABC中，AP是 ABC的外角平分线， AB PB A 求证： = D AC PCE P B C

三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其 三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。 夹角的外角平分线外分对边之比。

三角形角(内、外)平分线定理：三角形两边之 三角形两边之比等于其夹角或夹角的外角的平分线外分对边之 比。

二、直角三角形的射影定理

1、射影的定义： 、射影的定义：

2、探究：如图，在直角三角形ABC中∠C =900,CD ⊥ AB于D, 图中的线段AD、BD、CD、AC、BC、AB有何比例关系？(1)利用面积关系可以得到哪些线段 ) A

的比例关系？ 的比例关系？ (2)图中有哪些三角形相似？ )图中有哪些三角形相似？ 由三角形相似可得到哪些线段 的比例关系？ 的比例关系？

B

D

C

直角三角形射影定理：直角三角形斜边上的高是 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中项。 两直角边在斜边上射影的比例中项。两条条直角 边分别是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 边分别是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

练习： 1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=4, DB=16,则CD= ,AC= ,BC= .C

A

D

O

B

2、 ABC中，点C在AB上的射影为D,CD 2 = AD DB 求证： ABC是直角三角形

作业：课本：P22#1uuu r r 补充：1、 ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB, 若CB = a, uuu r r r r rr uuu r CA = b, a = 1, b = 2, 试用a、表示CD. b x2 y2 2、已知F1、F2分别为曲线C: = 1的左右焦点，点A在 9 27 曲线C上，AM为∠F1AF2的角平分线，M(2,0),求 AF2

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC 已知和证明1 图 证明：方法1:(面积法) S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM:S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 证明2图 即三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB/AC=MB/MC 方法2(相似形) 过C作CN∥AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB/AC=MB/MC 证明3图

方法3(相似形) 过M作MN∥AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC 而在△ABC内，∵MN∥AB ∴AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 方法4(正弦定理) 作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响) 由正弦定理，得， 证明4图 AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC