(新课标)高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形理【含答案
(新课标)高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形理【含答案】
1 第2讲 解三角形
正、余弦定理在平面几何中的应用
1.(2015广西南宁二模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=
,则B 等
于( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:由=及正弦定理得
=.
所以整理得a 2+c 2-b 2=ac,
所以cos B==,
所以B=.故选C.
2.(2015遵义市高三联考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b 2+c 2+bc-a 2
=0,
则
的值为( A ) (A) (B)- (C) (D)-
解析:因为b 2+c 2+bc-a 2=0,
所以b 2+c 2-a 2=-bc.
所以cos A==-.
所以A=.
由正弦定理可知,
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2 ==sin A=.故选A.
3.(2015河南六市联考)在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S △ABC =,则b 的值为( A ) (A) (B) (C)2 (D)2
解析:因为S △ABC =bcsin A=×bc ×=,
所以bc=3. ①
因为sin A=且A 为锐角,
所以cos A=.
所以由余弦定理得,a 2=b 2+c 2
-2bccos A,
即4=b 2+c 2-2×3×,
所以b 2+c 2=6. ②
由①②可解得b=c=.故选A. 4.(2015赤峰市高三统考)已知a,b,c 分别是△ABC 三个内角A,B,C 所对的边,且满足(2c+b)cos A+acos B=0,若a=4,则△ABC 面积的最大值是 .
解析:由(2c+b)cos A+acos B=0及正弦定理得,
(2sin C+sin B)cos A+sin Acos B=0.
所以2sin Ccos A+sin C=0.
又因为sin C ≠0,
所以cos A=-.
又A ∈(0,π),
所以A=.
由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A,
即16=b 2+c 2-2bc ·cos =b 2+c 2+bc ≥3bc.
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所以bc ≤,
当且仅当b=c=时,等号成立,
所以S△ABC =bcsin A=bc ≤×=.
答案:
三角恒等变换与解三角形的综合
5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则B等于( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:因为acos C,bcos B,ccos A成等差数列,
所以acos C+ccos A=2bcos B,
根据正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,
即sin (A+C)=2sin Bcos B,
又A+B+C=π,
所以sin B=2sin Bcos B,
又sin B≠0,
所以cos B=,
又B∈(0,π),
所以B=,故选C.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin
C,S=(b2+c2-a2),则B等于( B )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:根据正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,
即sin (A+B)=sin C=sin2C,
因为sin C≠0,
所以sin C=1,即C=90°.
由S=(b2+c2-a2),得bcsin A=(b2+c2-a2),
3
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即sin A==cos A,
即tan A=1,
又A∈(0°,180°),
所以A=45°,
所以B=45°.故选B.
7.(2015江西九江二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°.
(1)若sin C+cos C=cos B,求B和C的大小;
(2)若a=,求△ABC周长的取值范围.
解:(1)由A=60°,
得C=120°-B,代入sin C+cos C=cos B得,
sin(120°-B)+cos(120°-B)=cos B.
即sin B=cos B,
所以tan B=1.
又0°<B<120°,
所以B=45°,C=75°.
(2)法一由正弦定理得===2,
设△ABC的周长为y,
则y=2sin B+2sin C+
=2sin B+2sin(120°-B)+
=2sin(B+30°)+.
又因为0°<B<120°,即30°<B+30°<150°,
所以<sin(B+30°)≤1.
从而2<2sin(B+30°)+≤3,
所以△ABC周长的取值范围是(2,3].
法二由余弦定理得()2=b2+c2-2bccos,
即(b+c)2-3=3bc,
4
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