人教版七年级数学下册培优资料教师版

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

BOC，∠FOC＝

111

∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝222

1

BOC AOC 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝1³180°＝90° ⑵∠BOE22

经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共

构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.

的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的

度数是（ ） A．20°B． 40° C．50° D．80°

A

（第1题图） （第2题图）

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.

12对邻补角. 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，

A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列

【变式题组】 作图：

01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则： ⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑴∠ARC的对顶角是 . ⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

邻补角是 . 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 2

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 【变式题组】 B 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 距离为（ ） 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. A．4cmB． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm 【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC． 02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄； ⑴求∠EOF的度数； ⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置

C

⑵写出∠BOE的余角及补角. 时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的

定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

1

【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝∠

2

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，

也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，

OF⊥AB．

【解】∵OE⊥CD，OF⊥AB ∴∠FOB＝∠EOD＝90°

F （垂直定义） ∴∠BOE＝∠FOD＝90°－∠DOB＝65°∴∠DOB＝25°∴∠AOC＝∠DOB＝25°（对顶角相等）

【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE

的度数.

D

02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD． ⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

B

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE

的对顶角，并求其度数. A

A

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：是AB、EF被直线CD所截而得到的，一组同位角

1 ∠1和∠3：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对内错角

∠1和∠6：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

∠2和∠6：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对同位角 ∠2和∠4：是EF、AB被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

∠3和∠5：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对内错角 ∠3和∠4：是AB、CD被直线EF所截而得到的，一对同旁内角

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁

内角共有（ ） A A．4对B． 8对 C．12对D．16对

C D

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 5 2

4 1 乙

丙 5

A

甲

O

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）

A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠3和∠4是内错角 C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由

1 ⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180° ⑶∠ACD＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁B

C 内

角，有“

”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】

01．如图，推理填空.

A ⑴∵∠A＝∠（已知）

∴AC∥ED（ ） ⑵∵∠C＝∠（已知）

∴AC∥ED（ ） ⑶∵∠A＝∠（已知） ∴AB∥DF（ ）

02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系. 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

又∵EF平分∠DEC（已知）

∴（ ）

E

又∵∠1＝∠2（已知）

∴（ ）

C

∴AB∥DE（）

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD

平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.

【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于

31°.

l4 4 3

3 l5

l2 l6 2

l6

l1 1

图⑴

图⑵

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12³31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】