建筑力学 弯曲应力

弯曲应力

a b

c d

弯曲应力§1 引言

§2 平面弯曲时梁横截面上的正应力§3 梁横截面上的剪应力 §4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面

§1 引言

1、弯曲构件横截面上的(内力)应力 剪力Q 内力 剪应力

弯矩M

正应力

一、纯弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力 F 弯曲 a F (+)FQ 图

纯弯曲

F

横力 纯弯曲——梁弯曲变形时， 弯曲

横截面上只有弯矩而无剪 力( M 0, FQ 0 )。

F

L

a

F

横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又

-F

(-)

有剪力( M 0, FQ 0 )。

(+)

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

1、研究对象：等直细长对称截面梁2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件， (c)纯弯曲。 3、实验观察:M M

横截面上 只有正应 力无剪应 力

M

凹边缩短

长度保持 不变的纵 向纤维

凸边伸长 纵向纤维间无挤压作用

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。

中性轴——中性层与横截面的交线。中性轴

中性轴

中性层

4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

5、理论分析 (1)变形分布规律mo1

o

no2dx

变形后 y ba´ b´

a m

n

——中性层o1o2的曲率半径， o——曲率中心， y——任意纵向纤维至中性层的距离 纵向纤维bb: 变形前

变形后

ab o1o2 dx d a b ( y)d

所以纵向纤维ab的应变为: ab ( y )d d yd y (a) dx d ab ——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。曲率

1

( ), 则 ( );

曲率

1

( ),

则 ( );

1

C , y.o

当 y 0时, 0; y ymax时, max .

mo1

no2dx

y b

a m

n

a´

b´

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

(2)应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律

y E E 对一定材料， E为常数；

(b)

1对一定截面，

C.

y——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。 当 y 0时,

0;

应力为零的点的连线。 M

y ymax时, max .

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

(3)由静力平衡方程确定中性轴的位臵及应力计算公式

M dA

z(中性轴) M x 将

由

F 0得 dA =0x

A

dA

EA

y

y(对称轴)

Sz 0

y E dA 0

代入，得

E

A

ydA 0

E

Sz 0

(c)

Sz

A

ydA

图形对z轴的静矩

Sz yc

A

因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心。

静力平衡条件 考虑平衡条件

Fy 0, My

Fz 0,

M

x

0 自动满足。

0

由于y轴为截面的对称轴

I yz 0(d)A

yz E M y ( dA) z E dA yzdA 0 A A A

M dA

z x

I yz yzdA

图形对y、z两轴的惯性积

dA

I yz 可 0; 0; 0;

若y 和z有一个对称轴，则惯性积为零 y

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

考虑平衡条件

M dA dA

z x

M

z

M

M z A ( dA) y

E 2 A y dA M Iz

y A E dA

2

y

E Iz M

(e)

I z 为截面对中性轴的惯性矩。

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

可得挠曲轴的曲率方程：

M EI z

1

EIz ——抗弯刚度。EI z 越大, 梁的弯曲程度就越小正应力的计算公式为

My Iz 横截面上最大正应力为

max

M Mymax M Iz I z / ymax Wz

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：竖放： z h b b

1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6平放：

h

z´

1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6若h>b, 则

Wz Wz 。

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 d z

Iz

64

d 4,

Wz

32

d 3,

Dd z

Iz

64

(D d ) 4 4

64

D 4 (1 4 )

Wz

32

d ( ) DD3 (1 4 )

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁： (a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h>5时， 其误差不大； (b) 对R/h>5的曲率梁，可使用直梁公式。

非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：1 M ( x) ( x) EIR

h

正应力计算公式为

M ( x) ( x) y I

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 注意：

(1)在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截

面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离。 (2)要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布 的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力 最大。

弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

(3)梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号(拉或压)可根据弯矩的正负及梁的变形状态来

确定。(4)必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。