2014圆锥曲线高考压轴题汇编(2)

23．（2012 泸州一模）已知椭圆

的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

24．（2012 泸州二模）已知双曲线方程

，椭圆方程

，A、D分别是双曲线和椭

圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标．

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25．（2012 黄浦区一模）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

倍后得到点Q（x，

）满足

．

（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）过点B作斜率为

的直线l交曲线C于M、N两点，且满足

，又点H关于原点O的对称

点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

26．（2012 葫芦岛模拟）如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中

F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6． （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=求m+n的取值范围．

，n=

，若点A在第一象限，

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27．（2012 贵州模拟）椭圆C：

的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标

．

原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明并求这个定值．

28．（2012 崇明县二模）已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；

（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）+y=r（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求最小值，并求此时圆T的方程．

29．（2012 成都模拟）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣

=0，椭圆C：

2

2

2

为定值，

，0）与定直线l1：x=

的距离之比为常数

的

+y=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．

2

（I）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；

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30．（2012 长宁区二模）设抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为

2

钝角时实数m的取值范围；

（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由． ②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

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2014年3月杜老师的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共3小题） 1．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1 k2 最大时，求直线l的方程．

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2．如图，在△ABC中，已知A（﹣3，0），B（

3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为 H且

．

（Ⅰ）求点H的轨迹方程；

（Ⅱ）设P（﹣1，0），Q（1，0），那么

能否成等差数列？请说明理由；

（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

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, 不能构成等差数列. (Ⅲ ) 设M (9, m) , N (9, n) , 则A (﹣3, 0) , B (3, 0) , 于是 由 A,H,M 三点共线得 .由 B,H,N 三点共线得

,由此能得到

, ,又

,以 MN 为直径的圆的方程为 ， 由此能得以 MN 为直径的圆必过椭圆外定点 (17,0) . 解答： 解： (Ⅰ )设点 C(x,y) ,由题意得 H(x, y) , 则 于是 又 y=0 时 ， 共线，不合题意.故点 C 的轨迹方

程为 (y0≠0) , (y≠0) . ,由于 AC⊥ BH,

设点 H(x,y) ,C(x0,y0) ,则

由

得到点 H 的轨迹方程为

. (4 分)

(Ⅱ )设 ， ,

,则

故

=

,

所以

不能构成等差数列. (9 分)

(Ⅲ )设 M(9,m) ,N(9,n) ,则 A(﹣3,0) ,B(3,0) , 于是 由 A,H,M 三点共线得 由 B,H,N 三点共线得 径的圆的方程为 解得 (舍)或 .故以 MN 为直径的圆必过椭圆外定点(17,0) . (15 分) ,又 ，∴ ; ,以 MN 为直

点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件.

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3．如图，已知直线

与抛物线

和圆

都相切，

F是C1的焦点．

（1）求m与a的值；

（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；

（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

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二．解答题（共27小题）

4．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66=7.0756，3.34=11.1556）

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5．（2013 四川）已知椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过

点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且求点Q的轨迹方程． ，