2019届人教B版(文科数学) 平面向量 复数 第31讲 单元测试

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一、选择题

1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，若BC →＝(2,0)，AC →＝(1,4)，则AD →等于( )

A ．(－2,4)

B ．(0，－4)

C ．(2,4)

D ．(0,4)

2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(1,0)，c ＝(1，－2)，若a 与m b －c 平行，则m 等于( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

3．设D 为线段BC 的中点，且AB →＋AC →＝－6AE →，则( )

A.AD →＝2AE →

B.AD →＝3AE →

C.AD →＝2EA →

D.AD →＝3EA →

4．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与

△OAC 的面积比值为3，则λ的值为( )

A.12

B ．1

C ．2

D ．3

5.

如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ

的值为( ) A ．－3

B ．3

C ．2

D ．－2

6.

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如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB

→＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( ) A.2a －???

?1＋22b B ．－2a ＋???

?1＋22b C ．－2a ＋????1－

22b D.2a ＋???

?1－22b 7．已知非零向量AB →与AC →满足? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．等边三角形

8．(2017·舟山模拟)

如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12

DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )

A ．m ＋n 是定值，定值为2

B ．2m ＋n 是定值，定值为3

C.1m ＋1n

是定值，定值为2 D.2m ＋1n

是定值，定值为3

第 3 页 共 5 页 二、填空题

9．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB

→的坐标是________．

10．已知△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD →＝xAB →＋yAC →，则x －y ＝________.

11．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.

12.

如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，

N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．

第 4 页 共 5 页 答案精析

1．D 2.A 3.D 4.A 5.B

6．B [作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥DE 于F ，

由题意，得∠ACD ＝90°，CF ＝BE ＝FD ＝

22， ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，

∴AD →＝AE →＋ED →

＝?

???1－22a ＋????1＋22BC → ＝????1－

22a ＋????1＋22(b －a ) ＝－2a ＋???

?1＋22b ，故选B.] 7．D [依题意，由? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得BC 垂直于BC 边上的中线，可知△ABC 为等腰三角形，AB ，AC 为腰，再由AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，得A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形，故选D.] 8．D [方法一 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .

由AN →＝nAC →，可得AC AN ＝1n

， ∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1

， 由BD ＝12DC ，可得BM ME ＝12

， ∴AM AB ＝n n ＋n －12

＝2n 3n －1，∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1， 整理可得2m ＋1n

＝3. 方法二 ∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.

又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，

∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →.①

又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC

→－

12

AD →，

第 5 页 共 5 页 ∴AD →＝13AC →＋23

AB →.② 由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n

＝3，故选D.] 9．(4,7) 10.－13

11.{(－13，－23)} 12.83

解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →. 设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，

则AD →＝xλAB →＋yμAC →，则??? xλ＝23，yμ＝13，即??? λ＝23x ，μ＝13y ，

故λ＋2μ＝23????1x ＋1y ＝23???

?1＋y x ＋x y ＋1≥ 23????2＋2 y x ·x y ＝83

. 当且仅当x ＝y ＝12

时，等号成立．