初中数学竞赛辅导 相似三角形的性质

第23章第三讲 相似三角形的性质

一、相似三角形的性质（略）

二、典型例题

1．如图，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F． 求证：AE+AF≥4AB．

DABE

2．如图，等边△ABC的边长为a，D是BC边上的一点，且BD∶DC=2∶3，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处．

AM； AN

BDnAM ，求（2）如果． DCmAN（1）设折痕为MN，求

A

M

N

BCD

3．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，P是AC的中点，连结BP并延长交AC于E． 若AC∶AB=k．求AE∶EC．

A

E

BDC

4．如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m,m1,m2．证明：

A

E

B1

DC3m1 m25 ． m4

5．如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．

P

MD

Q

BC N

6．如图，P为△ABC内一点，过P点作线段DE、FG、HI，分别平行于AB、BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，求d．

A

I

FPE

G

BDHC

三、练习题

1．已知，如图，正方形DEMN内接于ABC，若S ADE

求BC的长．

A

SCEM ，S正方形DEMN 4，S BDN 3，E

NMC

2．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，DF⊥AB交AC于F，DE⊥AC，垂足为E，若EF∶CF=2∶1，DE=2，

BC的长．

C

F

E

BDA

3．如图，在△ABC中，D、E是AC、BC的中点，BF=

EG．（1）求证：EG∥AC；（2）求

1AB，BD与FC相交于G，连接3S BFG的比值． S BEGADBCE

4．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H， 求证：QH⊥DH．

5．已知，在△ABC中，AB、AC上各有一点R、Q，直线RQ与BC延长线交于点P，求证：

AQ CQPC PBAR BR 1． PQ RQPQ PRQR PR

A

R

BPC

6．已知平行四边形ABCD，C在边AD、AB上的射影分别是M、N，NM延长后与BD的延长线交于P，求证：PC⊥AC．

P

A

N

BM