2012-2013高中数学 3-1-5空间向量运算的坐标表示同步检测 新人教

3.1第5课时 空间向量运算的坐标表示

一、选择题

1．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b则向量a＋b与a－b的夹角是( )

A．90° B．60° C．30°

D．0°

[答案] A

[解析] ∵|a|2

＝2，|b|2

＝2， (a＋b)²(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．

2．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( A．4 B．1 C．10 D．11

[答案] D

[解析] →AB＝(－2,2，－2)，→AC＝(－1,6，－8)，→

AD＝(x－4，－2,0)， ∵A、B、C、D共面，∴→AB、→AC、→

AD共面， ∴存在λ、μ，使→AD＝λ→AB＋μ→

AC，

即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，

x－4＝－2

＝－4∴

λ－μ －2＝2λ＋6μ，∴

μ＝1

.

0＝－2λ－8μ

λ x＝11

3．下列各组向量中共面的组数为( ) ①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5) ②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2) ③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1) ④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1) A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] D

[解析] ①设a＝xb＋yc，则

)

1＝3x＋4y

2＝0²x＋2y 3＝2x＋5y

x＝－1

，解得

y＝1

.

故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c， ∴a，b，c共面．

②中b＝－2c，③中c＝a－b. 故②③中三个向量共面．

4．下列各组向量不平行的是( ) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)

D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40) [答案] D

[解析] b＝－2a，d＝－3c，f＝0e，只有D不存在实数λ，使g＝λh.

→

5．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )

A．[0,5] C．(1,5) [答案] B

→

[解析] |AB|2＝(2cosθ－3cosα)2＋(2sinθ－3sinα)2＝13－12cosθcosα－12sinθsinα

＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]， →

∴1≤|AB|≤5.

6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( ) A．x<－4 C．0<x<4 [答案] A

[解析] ∵a、b的夹角为钝角，∴a²b<0， 即3x＋2(2－x)＋0²x＝4＋x<0. ∴x<－4.

又当夹角为π时，存在λ<0，使b＝λa，

B．－4<x<0 D．x>4

B．[1,5] D．[1,25]

3＝λx

∴ 2－x＝2λ x＝0

，此方程组无解，因此选A.

1→7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝1B1，则BE1等

4于(

)

1

A．(0，1)

41

C．(0，－1)

4[答案] C

31→

[解析] B(1,1,0)、E1(1，1)，BE1＝(0，－，1)．

44

8．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( ) 1

A．x＝，y＝1

31

B．x＝，y＝－4

21

C．x＝2，y＝－

4D．x＝1，y＝－1 [答案] B

[解析] a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)， ∵(a＋2b)∥(2a－b)， 2x＋1＝λ(2－x)

∴ 4＝3λ 4－y＝(－2y－2)λ

1

B．(－0,1)

41

D．(0，－1)

4

1 x＝2，∴ y＝－4

9．如图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为( )

A．arctanC.π

3

2

B．arctan2 2

D.π2

[答案] D

→→→→

[分析] 建立空间直角坐标系，求出AC1与PQ的坐标，转化为求AC1与PQ的夹角． [解析] 设正方体棱长为1，以点A1为坐标原点，A1B1、A1D1、A1A所在直线分别为x轴、y11→

轴、z轴建立空间直角坐标系，则P ，0，0 ，Q 0，1，，A(0,0,1)，C1(1,1,0)，所以PQ＝

2 2 11→→→ －11，1 ，AC

1＝(1,1，－1)，故PQ²AC1＝－³1＋1³1＋1)＝0，

22 22

π→→

∴PQ⊥AC1，即PQ与AC12

→→

10．已知向量OA＝(2，－2,3)，向量OB＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中31

点坐标为(0，)，则(x，y，z)＝( )

22

A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1) C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1) [答案] A

[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z) 31

＝2 0， ，

22

∴(x＋2，－1－y,3＋4z)＝(0,3，－1)，

x＝－2

∴ y＝－4 z＝－1

.

二、填空题

11．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________. [答案]

333 3

， －，－，－ 333 333

x－z＝0

[解析] 设n＝(x，y，z)，由条件 x－y＝0

x2＋y2＋z2＝1

∴x＝y＝z＝

33

，

→→

12．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是____________．

[答案] 120°

→→

[解析] AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)， →

AB²CA＝－7，|AB|＝14，|CA|＝14，

∴cosθ＝

1，

214³14－7

→→→

∴θ＝120°.

13．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2，1)，则： (1)a＋b＋c＝________； (2)(a＋b)²c＝________； (3)|a－b＋c|2＝________. [答案] (5，－3,6) －7 54

[解析] (1)a＋b＋c＝(－3,2,5)＋(1，－3,0)＋(7，－2,1)＝(5，－3,6)． (2)a＋b＝(－2，－1,5)，

(a＋b)²c＝(－2，－1,5)²(7，－2,1)＝－7. (3)a－b＋c＝(3,3,6)，|a－b＋c|＝54.

14．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若

2

m∥n，则x＋y＝__________________.

[答案] －4

[解析] ∵a、b、c不共面，m∥n， ∴

x＋2－x＋y－y－2

3＝

2

＝

1

，∴

x＝－2 y＝－2

.

三、解答题

→→→

15．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使AB与AB＋xAC垂直？

→→

[解析] AB＝(6，－5,5)，AC＝(1，－3,6)，

→

AB＋xAC＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，

→→→∵AB⊥(AB＋xAC)

∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0， ∴x＝－

963232，∴存在实数x＝－， 511717

→

→→→

使AB与AB＋xAC垂直．

16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点． 求证：(1)AE⊥D1F； (2)AE⊥平面A1D1F.

→→→

[证明] 设正方体的棱长为1，以DA、DC、DD1为坐标向量，建立空间直角坐标系D－

xyz，如图所示．

11

(1)易知A(1,0,0)、E(1,1，)、F(0，，0)、D1(0,0,1)．

2211→→

∵AE＝(0,1，)，D1F＝(0，，－1)．

2211→→

又AE²D1F＝(0,1，) …… 此处隐藏：2534字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……