刚柔耦合系统动力学建模新方法

当前最流行的研究方法,刚柔耦合

第16卷第2期2003年6月

振　动　工　程　学　报

Vol.16No.2

Jun.2003

刚柔耦合系统动力学建模新方法

王建明　　　　　　　　　　洪嘉振

α

(山东大学机械工程学院　济南,250061)　　　(上海交通大学力学工程系　上海,200030)

刘又午

(天津大学机械工程学院　天津,300072)

摘　要　作高速大范围运动的机械系统,由于运动和变形的耦合将产生动力刚化现象,传统动力学理论难以计及这种影响。通过Kane方程在保证变形广义坐标完全精确到一阶项的前提下建立了系统一阶完备动力学方程。通过与传统动力学方程的对比分析,揭示了传统建模方法不仅遗失了动力刚度项,同时遗失了某些刚柔耦合惯性项。本关键词:动力学方程;刚柔耦合;动力刚化;Kane方程中图分类号:TH113.22;O322

、机械系统向高速高精度方向发展,使得系统大范围运动与其自身变形相耦合的动力学问题成为上述领域需解决的普遍问题和关键技术。Kane等于1987年指出运动的柔性体存在动力刚度项以及传统线性化的动力学分析方法将使该项丢失[1]。从此动力刚化问题成为柔性系统动力学的热点问题。

纵观现有计及动力刚化的建模理论,很多是将结构按大变形的几何非线性处理而得出的,如非线性有限元法[2]、基于非线性有限元理论的附加几何刚度法[3]、子结构法和有限段法等[4]。这些方法虽然模型较精确,方法带有普遍性,但往往计算效率较低。事实上,动力刚化往往是由于轴向惯性载荷对横向挠曲变形的影响而引起的,其中弹性构件并非发生大的变形,只要能够保证动力学方程完全精确到变形广义坐标一阶项,就可形成动力刚化项。基于此,国内外众多学者利用变形约束法,以期形成计算高效的一阶完备动力学建模方法;其中多数学者针对梁或薄板结构的中性轴或面形成变形约束条件[1,5];Zhang提出一种利用几何非线性位移2应变关系作为变形约束的适于一般柔性体的变形约束法[6];在此基础上,作者通过引入单元耦合形函数的新概念[7],形成了计算高效的动力刚化有限元分析方法。

α

本文针对一由N个自由度组成的一般柔性机械系统,通过Kane方程建立系统一阶完备动力学方程以及传统线性化的动力学方程,通过两组方程的比较以揭示传统线性化方法所遗失项的形式和位置,指出所遗失的不仅仅是动力刚度项,还包括刚柔耦合惯性项。同时提出一种直接对传统动力学方程进行修正而形成一阶完备动力学方程的新方法。利用该方法可对现有基于传统动力学理论的分析软件进行完善和升级。最后通过典型仿真算例验证了该理论及算法的正确性和有效性。

1　一阶完备线性化与传统线性化建模

过程的对比分析

　　首先给出文中相关术语及符号的定义:系统的刚体大范围运动和弹性运动分别被称为零阶运动和一阶运动,相应的广义坐标和广义速率项分别被称为零阶项和一阶项。用上标符“∧”表示相应量相对广义坐标和广义速率的线性表达形式,用上标符“-”表示相应量的零阶项,用上标符“∪”表示相应量的一阶项。

设系统S由Λ个质点组成,运动自由度为N,则系统的运动可由如下2N个标量表示,即N个广义坐标q1,…,qN和N个广义速率u1,…,uN。假设前

n个广义坐标和广义速率对应弹性运动的广义坐标和广义速率。

　国家自然科学基金资助项目(编号:19832040)

收稿日期:2002203207;修改稿收到日期:2002209209

当前最流行的研究方法,刚柔耦合

第2期王建明等:刚柔耦合系统动力学建模新方法

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利用Kane方程可得到系统如下形式的非线性方程

自由度)相对应的系统运动方程。即方程(3)与方程(5)当r取n+1,…,N时的结果是一致的。

(3)由于传统线性化方法的过早线性化处理,使

∑

i=1ir

Λ

iiii

vr (R-ma)=0　r=1,…,N

i

(1)

i

式中　v为i质点第r个偏速度,定义为5v 5ur;R

i

为作用在质点i上的主动力;mi、a分别为质点i的质量和加速度。

iiivr和R、a相对变形广义坐标和广义速率的线性化形式为

δiiλi

vr=vr+

r　r=1,…,(2)

δiθiiδiλiiR=R+R;a=a+a

　　将式(2)代入式(1),并忽略变形广义坐标和广义速率的二阶小量,得到相对变形广义坐标和广义速率的线性化形式的系统运动方程,

即所谓系统一阶完备的运动方程

得与一阶自由度(弹性运动自由度)相对应的系统运动方程(5a)中丢失如下一阶项

Cr=

∑[v

i=1

Λ

ir

θi-miaλi)]　　r=1,…,n(6)(R

　　通过式(6)对传统线性化系统运动方程加以修正,同样能获得与一阶完备线性化相等价的系统运动方程。此方法可被视为一种建立一阶完备系统运动方程的新方法。

δi可进一步展成如下式(2b)中的线性加速度a形式

λi

=

=

i

s=γα+v

iss

N

ti

(7a)

a

it

∑

i=1

Λ

γiθiiλi

vr (R-ma)+

i=Λ

γirRi-[v

i

)+

s=1

γiss=n+1

vsus+

i

α

(7b)

iiai)r=,N

　vir(()

λit、ait均为与广义速率的时间导数无关的加式中　a速度项。

将式(7)代入方程(3),经整理可得矩阵形式的一阶完备系统运动方程式中

Mu=f

Λ

,表示系统的刚体运动;第二个和式对应一阶项,表示系统的变形运

动。

以上系统运动方程式(3)是在获得一阶精确偏速度式(2)基础上得到的,而得到一阶精确偏速度的前提是需将系统的变形场表示为变形广义坐标二阶小量形式[6～7]。如按传统的假设模态法或有限元法,即将系统的变形场表示为变形广义坐标的线性组合形式,由此得到的系统偏速度表达式

γivr

r=1,…,nδ3i

(4)vr=　

γiir=n+1,…,Nvr+vr

iδ3

　　比较传统线性化方法所得到的偏速度v和一r

iδir(式(2a))vδ3阶完备线性化所对应的偏速度v表达r

α

(8)

∑m

i=1

iii

rs

vv

γγ

　　　r=1,…,N;s=1,…,n

Mrs=

∑

i=1

Λ

iγiδiiγim(vrvs+vrvs]

　　r=1,…,N;s=n+1,…,N

　fr=

γ∑[v

i=1

Λ

ir

δi-miaδit)+vir(Rθ-miait)](R

式中遗漏与变形广义速率u1,…,un有关的vir项。

将式(4)和式(2b)代入式(1)得传统线性化的系统运动方程式γir (Rθi-miaλi)+∑v

i=1

　　　　　　　　r=1,…,N

　　同理,将式(7)代入方程(5),经整理可得矩阵形式的传统线性化系统运动方程

3α3Mu=f式中

Λ

(9)

Λ

γir (Ri-miai)=0∑v

i=1

Λ

　　　　　　　r=1,…,n

γir (Rθi-miaλi)+　∑v

i=1

i

r

i

ii

(5a)

i

a)+

∑m

i=1

iir

v vs

γγi

Λ

∑

i=1

Λ

γi

r(Ri-m[v

i

　　r=1,…,N;s=1,…,n

M

3

θ-maλ)]=0　r=n+1,…,N(5b)　　　v(R

比较方程(3)和方程(5)可得如下分析结论:

(1)传统线性化不影响运动方程的零阶项(方程中的第一个和式),即刚体运动项。

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