北师大版高中数学必修四2.3《从速度的倍数到数乘向量》教案下载1

课题：§3从速度的倍数到数乘向量 三维目标：

1.知识与技能

（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. （2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。

（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个

向量。

（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，

并能用来解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法

教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.

3.情感态度与价值观

通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深

的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.

重点与难点:

重点：1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解.

教学方法：

(1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:多媒体、三角板.

教学过程

【探究新知】

1． 思考: （引入新课）已知非零向量a

作出a+a+a和( a)+( a)+( a)

a a

a

a

N

OC=OA AB BC=a+a+a=3a

PN=PQ QM MN=( a)+( a)+( a)= 3a

讨论：① 3a与a方向相同且|3a|=3|a|

② 3a与a方向相反且| 3a|=3|a|

2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a的积，记作：λa

定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

①|λa|=|λ||a|

M

Q

P

②λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

例题讲评

例1.（见P81例1）略

思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明．．．

的过程可根据学生的实际水平决定） ．．．．．．．．．．．．．．．．

结合律：λ(μa)=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②

第二分配律：λ(a+b)=λa+λb ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立

如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|

|(λμ)a|=|λμ|| a|=|λ||μ||a|

∴|λ(μa)|=|(λμ)a|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。 从而λ(μa)=(λμ)a

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ 0，μ 0，a 0

当λ、μ同号时，则λa和μa同向， ∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|

|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向

即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向

还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa| ∴②式成立 第二分配律证明：

如果a=，b=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当a ，b 且λ 0，λ 1时

1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点O，

B

作OA=a AB=b OA1=λa A1B1=λbB1

aa则OB=

+b OB1 λ+λb

1

由作法知：AB∥A1B1有 OAB= OA1B1 |AB|=λ|A1B1|

∴

|OA1||OA|

|A1B1||AB|

λ ∴△OAB∽△OA1B1

∴

|OB1||OB|

λ AOB= A1OB1

因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|λOB| OB1与λOB方向也相同

λ(a+b)=λa+λb

当λ<0时 可类似证明：λ(a+b)=λa+∴ ③式成立

【探究新知】

1

若有向量a(a 0)、b，实数λ，使b=λa 则由实数与向量积的定义知：a与

b为共线向量

若a与b共线(a )且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向

时b= μa

从而得：

向量b与非零向量a共线的充要条件是：

ab有且只有一个非零实数λ，使=λ. ．．．．．．．．．．

例题讲评

例2. （见P82例2）略

OA，OB不共线，例3.（P82例3改编）如图：P点在AB上，求证：存在实数 . 且 1

使OP OA OB

（证明过程与P82例3完全类似；略）

【探究新知】 1．思考：

①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？

②．对于平面上两个不共线向量e1，e2示？

2．教师引导学生分析

设

e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量

A

e1C

e2

=e1

=λ1e1

=a=+=λ1e1+λ2e2

OB=e2 ON=λ2e2

得平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. [注意几个问题]：

① e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底. ．．．② 这个定理也叫共面向量定理. ．．

③λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量. ．．

④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. ．．．．例题讲评

例4．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线

分别成30 , 60 角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

|OP|=1 (kg) P1OP=60

∴|OP1|=|OP|cos60 =1

1

2

3

|OP2|=|OP|cos30 =1 2

即两根细绳上承受的拉力分别为例5. 的两条对角线交于点M

用a，b表示MA，MB，MC …… 此处隐藏：2036字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……