第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理

蒋学程 jxc603@

第一章 线性系统的数学模型2.1 2.2 2.3

线性系统的时域模型 线性系统的复数域数学模型(传递函数 传递函数) 线性系统的复数域数学模型 传递函数 控制系统的方框图和信号流图

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2.1 线性系统的时域模型数学模型

时域模型

频域模型

方框图和信号流图

状态空间模型

描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型

深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型- 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型-称建模

任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、 全面的描述，必须进行简化或理想化。 全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系 统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求， 统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求， 来确定出合理的物理模型。 来确定出合理的物理模型。

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2.1 线性系统的时域模型建立系统微分方程(时域模型)的基本步骤： ①分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ②依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程； ③ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方 程； ④ 将方程写成规范形式。

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2.1 线性系统的时域模型

数学工具- 数学工具-拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0;② t>0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

F ( s ) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e st dt0

∞

⑵拉氏变换基本定理 线性定理 L[a1 f1 (t ) + a 2 f 2 (t )] = a1 F1 ( s) + a 2 F2 ( s) 位移定理

L[e at f (t )] = F ( s + a )自动控制原理

2.1 线性系统的时域模型延迟定理 终值定理 初值定理

L[ f (t τ )] = e τs F ( s )t → ∞

lim f (t ) = lim sF ( s)s → 0

t → 0

lim f (t ) = lim sF ( s )s → ∞

微分定理

df (t ) ] = sF ( s ) f (0) L[ dtL[ ∫ f (t )dt ] = F ( s ) f (0) s s 1

d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) 2 dt

L[ ∫∫

积分定理

F ( s ) f 1 (0) f 2 (0) f (t )dt ] = 2 s s2 s

⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式：F (s) = B( s) k ( s + z1 )(s + z 2 ) ( s + z m ) = A( s) ( s + p1 )( s + p 2 ) ( s + p n )

①F(s)中具有不同的极点时，可展开为F ( s) = an a1 a2 + + + s + p1 s + p 2 s + pn

ak = [

B( s) ( s + p k )] s = pk A( s )

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2.1 线性系统的时域模型②F(s)中含有共扼复数的极点时，可展开为F ( s) = a3 an a1 s + a 2 + + + ( s + p1 )(s + p 2 ) s + p3 s + pnB(s) ( s + p1 )( s + p 2 )] s = p1 A( s )

[a1 s + a 2 ] s = p1 = [

③F(s)中含有多重极点时，可展开为F(s) = an br br 1 b ar+1 + + + 1 + + + (s + p1)r (s + p1)r 1 (s + p1) (s + pr+1) (s + pn )br 1 = { d B( s ) [ ( s + p1 ) r ]}s = p1 ds A( s )

br = [

B( s) ( s + p1 ) r ] s = p1 A( s )

br j

1 d j B( s ) = { j[ ( s + p1 ) r ]}s = p1 j! ds A( s )

1 d r 1 B( s) b1 = { r 1 [ ( s + p1 ) r ]}s = p1 (r 1)! ds A( s)

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2.1 线性系统的时域模型就例2-1而言有：

U L ( s ) = L sI ( s )U o ( s) =

U R ( s) = R I ( s)

1 I ( s) 及 Cs U i ( s) = U L ( s) + U R ( s) + U o ( s)消去中间变量

(T1 s 2 + T2 s + 1)U o ( s ) = U i ( s )

。

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2.1 线性系统的时域模型

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2.1 线性系统的时域模型

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2.1 线性系统的时域模型

线性系统的特性 线性性质：满足叠加和比例性质，即两个同时加在系统输入端的输入信号对系 线性性质 统输出的总作用，与各自作用的和相等。 在初始条件均为零时，输入信号是原输入信号的微分(积分),则系统的输出信 号是是原输出信号的微分(积分)。线性微分方程

( p n + a1 p n 1 + L + a n 1 p + a n )c (t ) = (b1 p n 1 + b2 p n 2 + L + b0 ) r (t )两边同时积分或微分，方程仍然成立。

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2.1 线性系统的时域模型非线性微分方程的线性化 任何一个元件或系统都存在一定程度的非线性特性，处理非线性系统很困难。 在小偏差范围工作时，绝大多数系统都可以看作是线性系统。使用近似的线性 模型，便于分析和处理。 用线性模型近似实际的非线性模型的过程，称为线性化。 工作点：系统预定的平衡工作状态； 工作点 平衡状态：系统的输入和输出变量不变化，即他们的各阶导数均为零。 平衡状态 线性化方法：用变量在平衡点邻域的一阶泰勒展开式替换原变量。 线性化方法

关于小偏差线性化： 关于小偏差线性化： ⑴ 必须有明确的平衡工作点，线性化模型只在该工作点邻域有效； ⑵ 线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关； ⑶ 在工作点不能用泰勒展开的系统，不可能作线性化处理。自动控制原理

2.1 线性系统的时域模型

则

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2.2 线性系统的复数域数学模型(传递函数)解微分方程是件困难的工作，经过拉氏变换，变换成代数方程，便于分析和 处理。控制系统的复数域数学模型称为传递函数，是经典控制理论的最基本 和最重要的概念。

) 传递函数定义：在初始状态(条件)为零

的情况下，输出量的拉氏变换 C (s与 输入量的拉氏变换 R(s) 之比。记为

。

传递函数的性质： 传递函数的性质： ⑴ 只有线性定常系统具有传递函数； ⑵ 传递函数反映系统的本质特性，与输入量的具体形式无关； ⑶ 传递函数表达系统输出量对于系统输入量的响应关系，因此，在进行拉氏变 换时，所有初始状态均为零；传递函数与微分方程一一对应； ⑷ 传递函数是复变量S的有理函数；见定义表达式； ⑸ 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应函数 g (t )自动控制原理

2.2 线性系统的复数域数学模型(传递函数)求取传递函数的基本步骤： 求取传递函数的基本步骤： 列写系统的微分方程； 初始状态为零，对方程两边作拉氏变换； 写出标准的传递函数形式。 单位脉冲信号： L[δ (t )] = 1 脉冲响应函数是指系统输出对单位脉冲输入δ (t ) 的响应，即C ( s) = G( s) L[δ (t )] = G ( s)

c(t ) = L 1[G( s)] = g (t )

传递函数的零点和极点： 传递函数的零点和极点： 在不同应用时，传递函数有相应的标准形式。讨论系统零极点时的形式为

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2.2 线性系统的复数域数学模型(传递函数)

式中

zj

是分子多项式的零点，称为系统的零点；

p j 是分母多项式的零点，称为系统的极点；

n

极点的个数，为系统的阶次。

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2.3 控制系统的方框图和信号流图方框图和信号流图都能清晰地展现系统的基本组成部分及他们的相互 …… 此处隐藏：2301字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……