2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

答案精准,解析详尽。

2015年广东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）（2015 广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则

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4．（5分）（2015 广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个

22

6．（5分）（2015 广东）若变量x，y满足约束条件

，则z=3x+2y的最小值为（ ）

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7．（5分）（2015

广东）已知双曲线C：﹣

=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），

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二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）

9．（5分）（2015 广东）在（﹣1）

的展开式中，x的系数为 6 ．

4

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10．（5分）（2015 广东）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．

11．（5分）（2015 广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=C=

，则b=

．

，sinB=，

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12．（5分）（2015 广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．（用数字作答）

13．（5分）（2015 广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=

14．（5分）（2015 广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣为A（2

，

），则点A到直线l的距离为

．

）=

，点A的极坐标

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15．（2015 广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．

三、解答题

16．（12分）（2015 广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（cosx），x∈（0，

）．

，﹣

），=（sinx，

（1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为

，求x的值．

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考点： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角. 专题： 平面向量及应用. 分析： (1)若 ⊥ ,则 =0,结合三角函数的关系式即可求 tanx 的值；菁优网版权所有

(2)若 与 的夹角为 解答： 解： (1)若 ⊥ , 则 =( 即 sinx= ,﹣ cosx

,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值.

) (sinx,cosx)=

sinx﹣

cosx=0,

sinx=cosx,即 tanx=1; (2)∵ | |=1,| |=1, =( ∴ 若 与 的夹角为 则 =| | | |cos 即 sinx﹣ , = , ,﹣ ) (sinx,cosx)= sinx﹣ cosx,

cosx= , )= , ) . , ) .

则 sin(x﹣ ∵ x∈(0, ∴ x﹣ 则 x﹣ 即 x=

∈(﹣ = + =

.

点评： 本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用， 考查学生的计算能力， 比较基础. 17. (12 分) (2015 广东)某工厂 36 名工人年龄数据如图： 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 2 44 11 31 20 43 3 40 12 38 21 41 4 41 13 39 22 37 5 33 14 43 23 34 6 40 15 45 24 42 7 45 16 39 25 37 8 42 17 38 26 44 9 43 18 36 27 428

工人编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36

年龄 34 39 43 38 42 53 37 49 39

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（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差s；

（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

2

18．（14分）（2015 广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．

（1）证明：PE⊥FG；

（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

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19．（14分）（2015 广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x）e﹣a．

2

x

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（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤

﹣1．

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20．（14分）（2015 广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x+y﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

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21．（14分）（2015 广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣（1）求a3的值；

（2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=

+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足

，n∈N．

+

Sn＜2+2lnn．

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∴ 数列{an}是公比 q= ,

则数列{an}的前 n 项和 Tn=

=2﹣2

1﹣n

.

(3)bn= ∴ b1=a1,b2=

+(1+ + +…+ )an, +(1+ )a2,b3= (1+ + )a3,

∴ Sn=b1+b2+…+bn=(1+ + +…+ ) (a1+a2+…+an)=(1+ + +…+ )Tn =(1+ + +…+ ) (2﹣21﹣n

)<2×(1+ + +…+ ) ,

设 f(x)=lnx+ ﹣1,x>1,

则 f′ (x)= ﹣

.

即 f(x)在(1,+∞)上为增函数， ∵ f(1)=0,即 f(x)>0, ∵ k≥2,且 k∈N 时， ∴ f( )=ln +

, ﹣1>0,即 ln > ,

∴ 即

ln ,

,…

, =lnn,

∴ 2×(1+ + +…+ )<2+lnn, 即 Sn<2(1+lnn)=2+2lnn. 点评： 本题主要考查数列通项公式以及前 n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作 差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力，综合性较强，难 度较大.