复旦大学2003～2004学年 数学分析Ⅱ 期末考试试卷

复旦大学2003～2004学年 数学分析Ⅱ 期末考试试卷

《数学分析（II）》试题

2004.6

一．计算下列各题：

1．求定积分∫

2．求定积分∫max(1,x2)dx； 22e1dx； 2x(2+lnx)

3．求反常积分∫

4．求幂级数∑n=1∞+∞0lnx； 1+x2n+1 n2nx2n的收敛域； )

5．设u=xyz，求du。

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u=x 2y, 2z 2z 2z 2z二．设变量代换 可把方程62+ 2=0简化为=0，求v=x+ay x y u v x y

常数a。

11 三．平面点集{(0,0)}U ,sin n n

n=1,2,L 是否为紧集？请说明理由。

( 1)n 1xn

四．函数项级数∑在[0,1]上是否一致收敛？请说明理由。 nn1+xn=1∞

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五．设函数f(x)在( ∞,+∞)上连续，且满足f(1)=1和

∫

求∫f(x)dx。 12x0tf(2x t)dt=1arctan(x2)。 2

六．设函数f(x)在[1,+∞)上具有连续导数，且满足f(1)=1和

f′(x)=1，1≤x<+∞。 22x+[f(x)]

证明：limf(x)存在且小于1+x→+∞π4。

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七．设如下定义函数：

f(x)=∫x2

x 1+ 2 1dt，x>1。 sint t

判别级数∑n=2∞1的敛散性。 f(n)

八．设In=∫sinxcosxdx（n=0,1,2,L）。求级数∑In的和。 4

0nn=0π∞