微积分(第五章)多元函数微分学复习

多元函数微分学 复习一、内容提要 二、典型例题

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内容提要 偏导数

f (x x, y) f (x, y) f x (x, y) lim x x 0 注: (1) f x ( x0 , y0 ) df ( x, y0 ) x x 0 dx df ( x0 , y ) (2) f y ( x0 , y0 ) y y0 dy (3) f x ( x0 , y0 , z0 ) df ( x, y0 , z0 ) x x 0 dx 偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时 , 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可

内容提要 全微分 函数z f(x, y)在点(x, y)可微分:

z z x ( x , y ) x z y ( x , y ) y o ( ) ( ( x ) 2 ( y ) 2 ) 计算公式:dz z dx z dy x y 重要关系函数连续 函数可微 偏导数连续 函数可导

内容提要 复合函数求导公式 设 z f(u1,…, un) 可微, ui(x, y,…)偏导数存在, 则有

z z u1 z un . x u1 x un x 全微分形式不变性 设z f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分dz z du z dv u v

无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微 分形式是一样的

内容提要 隐函数求导公式

F(x, y) 0 确定 y f(x) 的导数公式Fx dy dx Fy

F(x, y, z) 0 确定 z f(x, y) 的偏导数公式

z Fx , z Fy x Fz y Fz

内容提要 曲线的切向量 光滑曲线 x x(t), y y(t), z z(t) 在 t t0 对应点处的切向量为 T ( x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )). 曲面F(x, y, z) 0与曲面G(x, y, z) 0的交线的切向量为

T ( Fx , Fy , Fz ) (Gx , G y , Gz ). 曲面的法向量 曲面 F(x, y, z) 0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n ( Fx , Fy , Fz ) |M 0 曲面 z f(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n ( f x , f y , 1) |M 0

内容提要 极值点的必要条件 具有偏导数的极值点必为驻点 极值的充分条件 设f(x, y)具有二阶连续偏导数, (x0, y0)为f(x, y)的驻点, 令 fxx(x0, y0) A, fxy(x0, y0) B, fyy(x0, y0) C, (1) AC B2 0时, f(x0, y0)为极值: 当A 0时为极大值, 当A 0时为极小值 (2) AC B2 0时, f(x0, y0)不是极值 (3) AC B2 0时, f(x0, y0)可能为极值, 也可能不是极值

则

内容提要 可微函数最值的求法 将函数在有界闭区域 D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就 是最小值 如果函数的最值一定在 D的内部取得, 而函数在 D内只有一 个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数在 D上的最值 拉格朗日乘数法 函数 u f(x, y, z) 在条件 j(x, y, z) 0 下的可能极值点为 拉格朗日函数 L(x, y, z, l) 的驻点, 其中

L ( x, y , z , l ) f ( x, y , z ) lj ( x,

y, z ).

拉格朗日函数

x2 y 2 z 2 L xyz l ( 2 2 2 1) 这是唯一可能的极值点, a b c 2l x 在此点体积 V 取最小值 . Lx yz a 2 0 a b c 所求切点为( , , ), 2l y Ly xz 2 0 3 3 3 b 解方程组 所求四面体的最小体积为 2l z Lz xy 2 0 c 3 V abc. x2 y 2 z 2 2 1 2 b2 c2 a 问题转化为求函数 f ( x, y , z ) xyz 在以下条件(1)下的极值: x2 y 2 z 2 (1) 1,( x 0, y 0, z 0) a 2 b2 c2

得x

a b c , y ,z , 3 3 3

知识点