巧用“三线合一”证题

巧用“三线合一”证题

“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。 一. 直接应用“三线合一”

例1. 已知，如图1，AD是 ABC的角平分线，DE、DF分别是 ABD和 ACD的高。 求证：AD垂直平分EF

A

E

F

B D C

图1

分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有 1 2，所以只要证 AEF为等腰三角形即可 证明： DE AB，DF AC 1 2，AD AD

Rt AED Rt AFD

AE AF 又 1 2

AD垂直平分EF

例2. 如图2， ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB 3AK

分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有AB AC，AD BC，所以就想到用“三线合一”。

证明：过点D作DE//CK交BK于点E AB AC，AD BC BD DC， BE EK AM MD， AK KE AK KE EB AB 3AK

图2

二. 先连线，再用“三线合一”

例3. 如图3，在 ABC中， A 90，AB AC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PE AB，PF AC，垂足分别为E、F 求证：（1）DE＝DF；（2）DE DF

C

图3

分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为 BDE或 PDE

的一边，DF为 DFP或 DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现 AED CFD或

BDF ADF

问题得证。

（2）欲证DE DF，只要证 ADE ADF 90，即可 但由（1）已证出 ADE CDF 又 ADF CDF 90，故问题解决 证明：连结AD。 D是BC的中点 BAC 90，AB AC

1BC 2

DA平分 BAC，AD BC

1

DAB DAC BAC 45

2

B 45

AB AC，PF AC，PE AB 四边形PEAF是矩形

PE FA

AD BD BPE 45 B

BE PE AF

又 AB AC， E CF

又 EAD FCD 45，AD DC AED CFD DE DF

（2） AED CFD ADE CDF

又 ADF CDF 90 ADF ADE 90 即DE DF

三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”

例4. 如图4，已知四边形ABCD中， ACB ADB 90 ，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN CD

A M B

C

分析：由于MN与CD同在 MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证 MCD为等腰三角形，由于MD、MC为Rt ADB、Rt ACB斜边AB上的中线，因此

图4

MD MC

1

AB，所以，问题容易解决。 2

证明：连结DM、CM

ACB ADB 90，M是AB的中点 DM CM

1AB 2

CMD是等腰三角形

又 N是CD的中点， MN CD

例5. 如图5， ABC中，BC、CF分别平分 ABC和 ACB，AE BE于E，AF CF于F，求证：EF//BC

C

图5

分析：由BE平分 ABC、AE BE容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰 BMA，E为AM的中点；同理可得等腰 CAN，F是AN的中点，故EF为 AMN的中位线，命题就能得证。

证明：延长AE、AF分别交BC于M、N 1 2，AE BE BAM为等腰三角形

即AB MB， AE EM 同理AF FN

EF为 AMN的中位线 EF//MN， EF//BC

失败是成功之母---^

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学科 数学

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巧用“三线合一”证题 巧用“三线合一”证题 韩秋荣 一校 康纪云 二校

分类索引号 G.622.46

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