高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生

教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课

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学科数学年级高二教材版本人教版

类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时

学案主题《导数及其应用》复习课时数量第（）课时授课时段

教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；?

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；? 3．会求函数在某点的导数

教学重点、

难点掌握导数的概念和求法。

掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。

教学过程

知识点复习

【知识点梳理】

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率：函数()

f x在区间

12

[,]

x x上的平均变化率为：21

21

()()

f x f x

x x

-

-

。

即：=

?

?

=

?

?

x

f

x

y

x

x

f

x

x

f

x

x

x

f

x

f

?

-

?

+

=

-

-)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

2

1

2

注1：其中x

?是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2. 导数的定义：设函数()

y f x

=在区间(,)

a b上有定义，

(,)

x a b

∈，若x

?无限趋近于0时，比值

00

()()

f x x f x

y

x x

+?-

?

=

??

无限趋近于一个常数A，则称函数()

f x在

x x

=处可导，并称该常数A为函数()

f x

在

x x

=处的导数，记作

()

f x

'。函数()

f x在

x x

=处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

注意：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量

00

()()

y f x x f x

?=+?-；（2）求平均变化率：00

()()

f x x f x

x

+?-

?

；（3）取极限，当x

?无限趋近与0时，00

()()

f x x f x

x

+?-

?

无限趋近与一个常数A，则0

()

f x A

'=.

4. 导数的几何意义：

函数()

f x在

x x

=处的导数就是曲线()

y f x

=在点

00

(,())

x f x处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

（1）求出()

y f x

=在x0处的导数，即为曲线()

y f x

=在点

00

(,())

x f x处的切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算

1. 常见函数的导数：

（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=；

（4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x

'=-；

（7）1

()2x x

'=；

（8）1()ααx αx -'=（α为常数）； （9）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠；

（10）11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a

'==>≠；

（11）()x x e e '=；

（12）1(ln )x x '=；

（13）(sin )cos x x '=；

（14）(cos )sin x x '=-。

2. 函数的和、差、积、商的导数(若()f x ，()g x 均可导)：

（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；

（2）[()]()Cf x Cf x ''=（C 为常数）； （3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；

（4）2()()()()()

[

](()0)()()

f x f x

g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。 3. 简单复合函数的导数：

若(),y f u u ax b ==+，则x

u x y y u '''=?，即x u y y a ''=?。 三、导数的应用

1. 求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导， （1）如果恒()0f x '>，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数； （2）如果恒()0f x '<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数； （3）如果恒()0f x '=，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()y f x =的定义域；②求导数()f x '；

③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，

(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。 2. 求函数的极值：

设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全部实根，12n x x x <<<，

顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x '和()f x 值的变化情况：

x

…

正负 0

正负 0

正负

单调性

单调性

单调性

（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值：

如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ，使得对任意的x I ∈，总有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤： （1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；

（2）将第一步 …… 此处隐藏：2428字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……