华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷 (13)

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试（A卷）

《 2007线性代数 》试卷

1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 六 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

20分） ． 设A是m n矩阵，B 是m 维列向量，则方程组AX B无解的充分必要条

件是：

con

． 已知可逆矩阵P使得PAP

sin

1

sin 12007

，则PAP con

． 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=

*

． 若A为2n阶正交矩阵，A为A的伴随矩阵， 则A=

*

． 设A为n阶方阵， 1, 2, , n是A的n个特征根，则

i 1

n

iE A =

二、 选择题（共20分）

1．将矩阵Am n的第i列乘C加到第j列相当于对A：

A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵

2．若A为m×n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，r(A) r min{m,n}。集合

M {X:AX B,X Rn}则

A，M 是m维向量空间， B， M是n-r维向量空间 C，M是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3．若n阶方阵A，B满足，A B ，则以下命题哪一个成立

2

2

A， A B， B， r(A) r(B)

C， detA detB， D， r(A B) r(A B) n

4．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：

A，矩阵A 1为正交矩阵， B，矩阵 -A 1为正交矩阵 C，矩阵A*为正交矩阵， D，矩阵 -A*为正交矩阵

1 1 1

5．4n阶行列式

1 10 1 00

的值为：

A， 1， B，-1

C， n D，-n

三、解下列各题（共30分）

1 1 1 5

1．求向量 1 ，在基 1 0 , 2 1 , 3 1 下的坐标。

02．设A 2 0

3

1 0 1 20

00

,

AB A 1 B，求矩阵B 1-A

01

3

3

5

925 3．计算行列式9

27 27125

81

81

625

1 2

4.计算矩阵A

3 3

3

6 6 3 10

列向量组生成的空间的一个基。

9 6 9 3

94120

4

9

ab1b2...bn b0ab2...

b n5. 设

A

b0b1a...

bn

...... 计算det A b0b1b2

...a

四、证明题（10分）

设 1, 2, , r是齐次线性方程组AX 0的一个基础解系，AX 0的一个解，求证 1 , 2 , , r , 线性无关。不是线性方程组

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

22

f(x1,x2,x3) 4x1x2 x2 x3 2x1x3

六、（8分）a 取何值时，方程组

x1 x2 2x3 a

3x1 x2 2x3 a 有无数多个解？并求通解 x 5x 10x 6

23 1

七、（4分）设矩阵A

，B，A+B都是可逆矩阵，证明矩阵A 1 B 1也是可逆

矩阵。

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