3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律

§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律

1. 质心质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。

Y

C

O抛手榴弹的过程

X

质心运动反映了质点系的整体运动趋势。

质 心

对于N个质点组成的质点系：

m1 , m2 , , mi , mN

r1 , r2 , , ri , rN

M mi

直角坐标系中

xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M

rc mi ri / M

质 心

对于质量连续分布的物体

rc r d m / M xc x d m / M 分量形式 yc y d m / M zc z d m / M

线分布 面分布 体分布

d m dl dm dS d m dV

质 心

注意：质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。

质 心

例题3-7求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称， 所以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐 标轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元，由 于面积元的高度为2y,所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 ,则此面积元的质量y a

dm 2 x dx 三角形质心坐标xc是 a/ 2 2 xdm 0 2 x dx 2 a xc a/ 2 3 dm 2 xdx 0

Ox dx

x

这个结果和熟知的三角形重心位置一致。

质 心

例1:确定半径为R的均质半球的质心位置。解：建立如图所示坐标 Y

dy已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为dy的 薄圆盘为质量微元。R

X

O

d m R y d y2 2

yc

ydm m

质 心

yc

ydm R

m

0

y ( R2

2

y )d y2

RR 0

2 R 3 / 3

y2 d y23

4R

/3R 0

3( R 2 y 2 y 4 / 2) 4R34

3R / 2 4R3 / 3

3R 8

质心在距球 心3R/8处。

2. 质心运动定理设有一个质点系，由 的位矢是：

n个质点组成，它的质心

mi ri rc mi m1r m2 r2 mn rn 1 m1 m2 mn 质心的速度为 d ri mi d rc d t mi vi vc dt mi mi

质心运动定理

质心的加速度为

ac

d vi mi d vc d t mi ai dt mi mi

由牛顿第二定律得

d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 22 f 23 f 2 n dt d vn mn an mn Fn f n 2 f n 3 f nn dt

质心运动定理

对于内力 f12 f 21 0, , f in f ni 0, mi ai F i Fi

Fi ac mi ai M mi ac 质心运 mi 动定理 Fi Mac表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。

如果系统所受的外力之和为零(即 Fi 0),

3. 动量守恒定律

则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒 定律。 条件

mi vi =常矢量 定律 vc M P mi vi m v c =常矢量i

Fi 0

动量守恒定律

直角坐标系下的分量形式

m1v1x m2v2 x mn vnx =常量m1v1 y m2v2 y mn vny =常量

m1v1z m2v2 z mn vnz

=常量

4. 火箭飞行前 苏 联 东 方 1 号 火 箭

长 征 三 号 运 载 火 箭

火 箭 发 射

4. 火箭飞行设在某一瞬时 t ,火箭的 ,在其 质量为 m ,速度为 v 后 t 到 t d t 时间内，火箭喷 出了质量为 d m 的气体， m 是 d 质量 m 在 d t 时间内的增量， 喷出的气体相对于火箭的速 ,使火箭的速度增加 度为 u 了d v 。 喷气前总动量为：mv

M

M-dm

v

v dv

t时刻

u

dm t+dt时刻

喷气后火箭的动量为： (m d m)(v d v ) 所喷出燃气的动量为： ( d m)(v u )

火箭飞行

由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律

mv (m d m)(v d v) ( d m)(v u )化简

dm d v u m dm v1 d v m1 u m m1 v2 v1 u ln m2v2 m2

设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量

火箭飞行

设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M 0 ,燃 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ,此时火箭能达 到的速度是

M0 dm v M 0 u u ln m MM

火箭的 质量比

多级火箭vn ui ln N ii 1 n

uiNi

第i级火箭喷气速率

第i级火箭质量比

人造卫星

第一宇宙速度

人造卫星

星下点轨迹

人造卫星

多颗卫星组成的全球定位系统(GPS)