安徽省定远育才学校2019届高三(艺术班)下学期第一次模拟考试数学

2019届高三下学期艺术班第一次模拟检测卷

数学试题

全卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意要求的。

1.已知集合()(){|210}A x Z x x =∈+-<， {}2,1B =--，那么A B ?等于( )

A. {}2,1,0,1--

B. {}2,1,0--

C. {}2,1--

D. {}1-

2.函数()ln 312x x f x +=-(

)

A. (－3,0)

B. (－3,0]

C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)

D. (

－∞，－

3)∪(－3,0) 3.

已知复数的虚部1，则 ( )

A.

B.

C. D.

4.已知平面向量()131,0,2a b ?==- ??

，则a 与a+b 的夹角为（ ）

A. 3π

B. 23π

C. 6π

D. 56π

5.已知2

sin2,3α=则1

tan tan αα+= （

）

A. B. 2

C. 3

D. 2

6.“1a =”是“函数()243f x x ax =-+在区间[)2,+∞上为增函数”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要

7.函数()ln 1y x =-的图象大致为（ ）

8.运行如图所示的程序框图,如果输入的[]1,3t ∈-,则输出s 属于（ ）

A. []2,5-

B. []5,2-

C. []4,3-

D. []3,4-

9.若实数,x y 满足1

{26 22

x y x y x y +≥+≤-≤，则34z x y =+的最大值是（ ）

A. 3

B. 8

C. 14

D. 15

10. ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且2c a =，则cos B = ( ) A 14 B 3422 11.设1312a ??= ???， 1213b ??= ???， 13

13c ??= ???，则（ ） A. c a b << B. b c a << C. c b a <<

D. a b c <<

12.函数()()sin f x A x ω?=+（其中0A >， 2π?<）的图象过点03π?? ???，， 7112π??- ???

，，如图所示，

为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）

A. 向右平移

6π个单位长度 B. 向右平移12

π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数y=sin （?

x+ ）（0＜x ＜π），当且仅当

x= 时，y 取得最大值，则正数?的值为 ．

14.已知,2παπ??∈ ???，且5sin α=，则tan 24πα??+= ??

? ． 15.已知矩形ABCD ， 2,1AB BC ==，则BD CD ?=________________．

16.设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = ．

三、解答题：本题共6小题，共70分。

17. （本小题满分12分）已知函数()()1a f x log x =+， ()()1a g x log x =-（其中0a >，且1a ≠）. （I ）求函数()()f x g x +的定义域.

（II ）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明.

（III ）求使()()0f x g x +<成立的x 的集合.

18. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，2），C （cosα，sinα）．

（1）若

，且α∈（0，π），求角α的值； （2）若

，求

的值．

19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1{}n

a 的前n 项和为n T ,且对*n ?∈N ,n T λ<恒成立,求实数λ的最小值． 20. （本小题满分12分）在ABC ?中，内角A B C ，，的对边分别为a

b

c ，，，已知cos 2cos 2cos A C c a B b --=．

（I ）求

sin sin C A

的值； （II ）若1cos 24B b ==，，求ABC ?的面积S ． 21. （本小题满分12分）已知函数2()2sin ()324

f x x x π

=+． （1）求()f x 的周期和单调递增区间；

（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ??∈????上有解，求实数m 的取值范围． 22. （本小题满分12分）已知函数2f(x)=x +ax lnx(a R)∈－ ⑴若函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围； ⑵令2g(x)=f(x)x －，是否存在实数a ，当x ∈(0，e ]时，函数g(x)的最小值为3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

参考答案

1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.C 10.B 11.B

12.D

13.1 14.17- 15.4

16.3a =

17. 解析：（I ）由题意得： 10{ 10

x x +>->， ∴11x -<<，

∴所求定义域为{}|11,x x x R -<<∈． （II ）函数()()f x g x -为奇函数， 令()()()H x f x g x =-，

则()()()1111a a a x H x log x log x log x +=+--=-， ∵()11a x H x log x

-+-=+， 1log 1a x x

+=--， ()H x =-．

∴函数()()()H x f x g x =-为奇函数． （III ）∵()()()()11a a f x g x log x log x +=++-， ()

2log 10a x =-<，

log 1a =，

∴当1a >时， 2011x <-<， ∴01x <<或10x -<<．

当01a <<时， 211x ->，不等式无解，

综上：当1a >时，使()()0f x g x +<成立的x 的集合为{|0 1 x x <<或}10x -<<．

18. 解：（1）由题意可得

=（cosα﹣2，sinα），

=（cosα，sinα﹣2），

∵

，∴（cosα﹣2）2+sin 2α=cos 2α+（sin α﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，

α=

（2）解：若

，则 （cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）

= ，

化简得 s

inα+cosα= ，平方可得

1+2sinαcosα= ，2sinαcosα=﹣

，

∴

= =2sinαcosα=﹣

．

19.（1）11122n n n a --=?=，（2）2． 解析：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,

所以 21211123S a a a a a =+=+=． 1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ?=+．

所以 11a =． 3分 所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．

所以 11122n n n a --=?=． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

111

()2

n n a -=． 所以

111a =, 1111

(*)2n n

n a a +=?∈N ． 所以 1{}n a 是以1为首项, 1

2

为公比的等比数列． 9分

所以 数列1{}n a 的前n 项和1

1122(1)1212

n n n T -

==--． 10分

因为 102

n >， 所以 12(1)22n n

T =-

<． 若2b <，当22log ()2n b >-时，n T b >． 所以 若对*n ?∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥．