哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第2章 非惯性系中的质点动

第 二 章非惯性系中的质点动力学

牛顿定律适用于惯性参考系对于非惯性参考系

非惯性参考系中的质点动力学研究对象仍然是速度 远小于光速、宏观物 体的机械运动 时间、质量和空间尺 度都是绝对的，仍属 于经典力学的范畴

非惯性系中的质点动力学基本方程及动能定理

第二章 非惯性系中的质点动力学§2-1 §2-2 非惯性系中质点动力学的基本方程 非惯性系中质点的动能定理

§2-1

非惯性系中质点动力学的基本方程惯性参考系- O x y z

z z′ r′ y′ O′ O x M F

非惯性参考系- O´x´y´z´ F -作用在质点M上的力 绝对加速度 aa 相对加速度 ar

x′

y

牵连加速度 ae相对矢径 r´

对质点M应用牛顿第二定律 maa F

zz′ r′ O′ x′ y M F

根据加速度合成定理 aa ar ae aC m ar m ae m aC F O x m ar F m ae m aC 令 F Ie m a e , F IC m a C m a r F F Ie F IC

y′

非惯性系中的质点动力学基本方程，或质点相对运动动力 学基本方程

m a r F F Ie F IC非惯性系中的质点动力学基本方程，其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 F IC m a C --- 科氏惯性力

在非惯性系中，牵连惯性力和科氏惯性力是真实存在的在动参考系中，相对矢径对时间 的二阶相对导数

m

d r 2

dt

2

F F Ie F IC

非惯性系中的质点运动微分方程(质点相对运动微分方程)

m a r F F Ie F IC几种特殊情况： (1)动系相对于定系作平移 a C 0 , F IC 0 ae 0

(2)动系相对于定系作匀速直线平移 a C 0 ,

m a r F F Ie

mar F相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于发觉该参考系本身 的运动情况，这称为经典力学的相对性原理。

(3)质点相对于动系静止 F F Ie 0

a r 0,

vr 0

质点相对静止的平衡方程：当质点在非惯性参考系中保持相对静止 时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。

(4)质点相对于动系作等速直线运动 F F Ie F IC 0

ar 0

质点相对平衡方程。在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。

飞行员的黑晕与红视现象 飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 爬升时：a > 5g

牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。

飞行

员的黑晕与红视现象 飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 牵连惯性力向上，使血流 自下而上加速流动，造成 大脑充血，形成红视现象。

俯冲时：a > 2g

地球自转引起的一些有趣的现象 (1)地面上物体的重量是地球引力与离心惯性力的合力， 称为表观重力。地面上铅垂线的方向也是表观重力的方向， 但自由落体却不沿表观重力的方向下落。北半球落体偏东(

例2-3),南半球落体偏西。(2)水槽中的水流方向在北半球是逆时针，在南半球是顺 时针的，在赤道附近两种情况几乎各有一半(卡皮罗现象) (3)在北半球，河流的右岸受较大的冲刷；在南半球， 河流的左岸受较大的冲刷。

(4)台风、龙卷风的形成。台风基本发生在大约离赤道5个纬度以上的洋面上。

(5)证明地球自转的傅科摆(1851年Foucault J L发明)。

北半球

在北半球，摆运动的平面缓慢顺时针转动，平面旋转一周的周期为T 2

sin

为地球自转角速度， 为傅科摆所在地的纬度。

某人水平抛出一个球，如果考虑科氏惯性力，在下述情况下，由抛球的人来看，球的路径会偏向不考虑科氏惯性力时路径的右侧还是左侧？(1)在 北半球水平抛出；(2)在南半球水平抛出；(3)在南极和北极水平抛出。

vr 2m vr

(北半球) (1)向右偏；(2)向左偏；(3)在南极向左偏；在北极向右偏。 思考：如果在赤道上水平扔球呢？ 不偏向

例 质量为m,长度为l 的单摆，其悬挂点随框 架以匀角速度 绕铅垂轴转动，求单摆相对静 止时的 角和摆杆的张力。摆杆质量不计。 解：取小球 M 为研究对象，单摆相对静止 时， vr=0, ar=0, FIC=0,则 F F Ie 0F Ie FT sin 0 FT cos mg 0a l sin g F T mg cos

a

A

l M

Fx 0 Fy 0

FTFIe M mg

解得：tan

2

例 图示水平圆盘绕O轴转动，转动角速度 为常量，在圆盘上 沿某直径有光滑滑槽，一质量为m的质点M在槽内运动。如质点 在开始时离轴心的距离为a,且无初速度，求质点的相对运动方 程和槽的动约束力。

解：动点：小球 m a r F F Ie F ICF Ie m 2

动系：固连在圆盘上O

aM

F F Ie

F IC

F Ie 2 m v r

将方程投影到 和 轴ma r m 2

(1) (2)

0 F 2m vr

ma r m 2

(1)

F F Ie

0 F 2m vr (2) 由(1)和 a r ,得

O

2

这个方程的通解为 c1 e t

F IC

c2e

t

代入定解条件 ( 0 ) a , ( 0 ) 0 ,得c1 c 2 a 2 ,

a 2

(e

t

e

t

)

由(2)得2 t t F 2 m v r 2 m ma ( e e )

§2-2m

dvr

非惯性系中质点的动能定理 F F Ie F IC (a )

(a)式两端点乘相对位移 d r

dt 非惯性系中的质点动力学基本方程，其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 --- 科氏惯性力 F IC m a C 2 m v r dvr dt d r F d r F Ie d r F IC d r m v r d v r F d r F Ie d r

m

m v r d v r F d r F Ie d r

1 2 d mv r W F W Ie 2 质点相对运动动能定理的微分形式：质点在非惯性系中相 对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对运动中所作的元功之和。

1 2

mv

2 r

1 2

mv

2 r0

W F W Ie

质点相对运动动能定理的积分形式：质点在非惯性系中相 对动能的变化，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对路径上所作的功之和。

例 半径为R的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度 转动，管内有 一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会 沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角 max。解：动点：小球 动系：固连在环形管上F Ie m R sin 2

z

经过微小角度d ,惯性力作功 W I F Ie R d cos m R sin cos d 2 2

R

F Ie

mg

由相对运动的动能定理0 0 mgR (1 cos max )

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