有限元分析基础课后习题答案

该套习题答案是有傅永华主编,武汉大学出版社出版。

三角形单元i,j,m的j m边作用有 如图所示线形分布面载荷，求 结点载荷向量。 解：面力移置公式：

q1

q2

{R}e = ∫ [N ]T {p}tds其中：

Ni [N ] = 0

0 Ni

Nj 0

0 Nj

Nm 0

0 Nm

1 Ni = (ai + bi x + ci y) (i, j, m) 2A ai = 6 * 6 5 * 3 = 21, bi = 3 6 = 3, ci = 5 6 = 1 a j = 5 * 2 2 * 6 = 2, b j = 6 2 = 4, c j = 2 5 = 3 am = 2 * 3 6 * 2 = 6, bm = 2 3 = 1, cm = 6 2 = 4

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1 1 13 A= 1 6 3 = 0 4 1 = 2 2 2 1 5 6 0 3 4

1 2 2

1 2 2

Ni =

1 (21 3x y) 13 1 N j = ( 2 + 4 x 3 y) 13 1 N m = ( 6 x + 4 y) 13

所以

[N ] =

0 2 + 4x 3y 0 6 x + 4y 0 1 21 3x y 0 3 3x y 0 2 + 4x 3 y 0 6 x + 4 y 13

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( q2 q1 ) q1 + (6 y ) 载荷分布函数： {p} = 3 0 积分函数：

y = 3 x + 21

( x ∈ [5,6])

0 21 3x y 0 3 3x y q + (q2 q1 ) (6 y) 0 1 2 + 4 x 3 y 1 e {R} = ∫ tds 3 0 2 + 4 x 3 y 13 0 6 x + 4y 0 0 6 x + 4y 0 21 3x y 0 3 3x y q + (q2 q1 ) (6 y) 10 0 1 6 2 + 4 x 3 y dy = t∫ 1 3 3 0 2 + 4x 3 y 13 3 0 6 x + 4y 0 0 6 x + 4y

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0 0 0 0 4 2 y + 28 3 y 0 3 (q q ) 6 10 4 e q1 + 2 1 (6 y) dy {R} = t 0 2 y + 28 3 y 3 3 *13 ∫3 3 0 1 6 + y 7 + 4y 0 3 1 0 6 + y 7 + 4y 3 0 0 0 0 13 y + 26 0 3 (q q ) 6 10 13 q1 + 2 1 (6 y) dy =t 0 y + 26 3 3 *13 ∫3 3 0 13 y 13 0 3 13 0 y 13 3

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0 0 (q2 q1 ) 13 y + 26 * (2q2 q1 y) 10 6 3 e 3 {R} = t dy ∫3 0 3 *13 13 (q2 q1 ) y 13 * (2q q y) 2 1 3 3 0 0 0 10 6 ( y + 6)* (6q2 3q1 (q2 q1 ) y) = t∫ dy 0 27 3 ( y 3)* (6q2 3q1 (q2 q1 ) y) 0

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(6q2 3q1 ) ∫ ( y + 6)dy (q2 q1 ) ∫ ( y + 6) ydy6 6 3 3

1 1 = (6q2 3q1 ) y 2 + 6 y (q2 q1 ) y 3 + 3 y 2 2 3 3 9 = 9q2 + q1 2 (6q2 3q1 ) ∫ ( y 3)dy (q2 q1 )∫ ( y 3) ydy6 6 3 3

6

3 1 1 = (6q2 3q1 ) y 2 3 y (q2 q1 ) y 3 y 2 2 3

2 3 9 = q2 + 9q1 2

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所以

0 0 (q2 q1 ) 13 y + 26 * (2q2 q1 y) 10 6 3 e 3 {R} == t dy ∫3 0 3 *13 (q2 q1 ) 13 y 13 * (2q q y) 2 1 3 3 0 0 0 0 0 1 9 10 9q2 + 2 q1 10 q2 + 2 q1 = = t t 0 27 3 0 18 9 1 q2 + q1 q2 + q1 2 2 2 0 0

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y解：在如图所示坐标下求解结 点j的等效载荷：

q2j(3,1)

1 x 2 3q jx = ∫ (q1 + (q2 q1 ) ) xt 1 + y′ dx 0 3 m(0,0)3

q

q jxx

3q jx = 3q jx =

10 1 2 x ( q1 x + (q2 q1 ) )t 3 2 9 0

3

3

o

10 9 2 ( q1 x + 3(q2 q1 ))t 3 2 10 1 q jx = q2 + q1 t 3 2

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在如图所示坐标下求解结点m 的等效载荷：x 3qmx = ∫ (q2 (q1 q2 ) ) xt 1 + y′2 dx 3 30

y

q2j(0,0)

3qmx = 3qmx =

10 1 x ( q2 x 2 + (q2 q1 ) )t 9 3 3 2

3

0

q1m(-3,-1)

o

x

10 9 ( q2 + 3(q2 q1 ))t 3 2 10 1 qmx = q2 + q1 t 3 2

q mx

所以

0 0 1 10 q2 + 2 q1 e {R} = t 3 0 1 q2 + q1 2 0

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解：

j(0,a)

ai = x j ym xm y j , bi = y j ym , ci = xm x j a j = xm yi xi ym , b j = ym yi , c j = xi xm a = x y x y , b = y y , c = x x i j j i m i j m j i m

a

ai = 0 * 0 0 * a = 0, bi = a 0 = a, ci = 0 0 = 0 a j = 0 * a a * 0 = 0, b j = 0 0 = 0, c j = a 0 = a a = a * a 0 * 0 = a 2 , b = 0 a = a, c = 0 a = a m m m Ni [N ] = 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0

M(0,0)

a

i(a,0)

0 Nm

1 Ni = (ai + bi x + ci y) 2A

(i, j, m)

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1 1 A = 1 0 a = a2 2 2 1 0 0

1 a 0

j(0,a)

a1 x (0 + ax + 0 y) = a2 a M(0,0) M(0 0) 1 y N j = 2 (0 + 0 x + ay) = a a 1 a x y N m = 2 (a 2 ax ay) = a a 0 1 x 0 y 0 a x y [N ] = 0 a x y a 0 x 0 y Ni =

a

i(a,0) i(a 0)

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µ 1 0 1 µ E (1 µ ) µ [D] = 1 0 (1 + µ )(1 2µ ) 1 µ 1 2µ 0 0 2(1 µ ) 1 4 0 1 1 1 4 1 1 1 E (1 ) 4 3E 1 4 1 0 = = 1 1 1 10 3 (1 + )(1 2 ) 1 0 4 4 4 1 1 2 4 0 0 1 2(1 ) 4

1 0 3 3 1 0 E 1 0 = 1 3 0 10 0 0 1 1 0 3

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[B] = [B1

B2

B3 ]

ai = 0 * 0 0 * a = 0, bi = a 0 = a, ci = 0 0 = 0 a j = 0 * a a * 0 = 0, b j = 0 0 = 0, c j = a 0 = a a = a * a 0 * 0 = a 2 , b = 0 a = a, c = 0 a = a m m m bi 0 [Bi ] = 1 0 ci 2A ci bi

a 0 1 0 0 0 1 [Bi ] = 12 0 0 = 1 0 0 B j = 0 1 a a a 0 a 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 [B] = 1 0 0 0 1 0 1 a 0 1 1 0 1 1

[ ]

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