线性代数1-5行列式的性质

线性代数1-5行列式的性质

线性代数1-5行列式的性质

一、行列式的性质记

a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T D D an1 an 2 ann a1n a2 nT

a n1 an 2

ann

行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.

线性代数1-5行列式的性质

证明

记 D det aij 的转置行列式b11 b12 b1n b21 b22 b2 n T D , bn1 bn 2 bnn

即 bij aij i , j 1,2, , n , 按定义t t D 1 b1 p b2 p bnp 1 a p 1a p 2 a p n . T1 2 n 1 2 n

又因为行列式D可表示为t D 1 a p 1a p 2 a p n .1 2 n

线性代数1-5行列式的性质

故

D DT .

证毕

说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明 设行列式 b11 b12 b1n

是由行列式 D det aij 变换 i , j 两行得到的,

b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn

线性代数1-5行列式的性质

即当 k i , j 时, bkp akp ; 当 k i , j 时,

bip a jp , b jp aip ,于是t D1 1 b1 p bip b jp bnp1 i j n

t 1 a1 p aip a jp anp1 i j

n

t 1 a1 p aip a jp anp ,1 j i n

其中1 i j n 为自然排列 , t为排列 p1 pi p j pn 的逆序数.设排列 p1 pi p j pn 的逆序数为t1 , 则有

线性代数1-5行列式的性质

故

1 1 , t D1 1 a1 p aip a jp anp D.证毕t t11 1 j i n

例如

1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2

1 7 6 6 3 5

7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 85

推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.

线性代数1-5行列式的性质

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式.

a11 kai 1

a12 a1n

a11

a12 a1n

kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn

a n1

推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面.

线性代数1-5行列式的性质

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比 例，则此行列式为零. 证明 a11

a12 a1n

a11

a12 a1n

a i 1 a i 2 a in

a i 1 a i 2 a in

k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn

线性代数1-5行列式的性质

性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和. a a (a a ) a11 12 1i 1i 1n

例如

a 21 D a n1

a 22 (a 2 i a 2i ) a2n a n 2 (a ni a ni ) a nn

则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11

a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni

线性代数1-5行列式的性质

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k

a n1 a ni a nj a nj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ri krj an1 (ani kanj ) anj anj

线性代数1-5行列式的性质

二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.1 1 2 3 3 7 3 9 2 14 10 1 3 5 1 6 2

例1 D 2 3 4

0 5 4

4 7 10

线性代数1-5行列式的性质

1 1 2 3 3 7

3 9 2 14

1 3 5 1 6

解

D 2 3

0 5

4 7

4 4 10 10 2 1 1 2 3 1

0 r2 3r1 2

0 0

1 4 7

0 2 14 10

2 1 6 2

3 5

4 4 10

线性代数1-5行列式的性质

1 1 2 0 0 1 r2 3r1 2 0 4 7 3 5

3 0 2 14 10

1 2 2 1 6 2

4 4 10

4 r2 2r1

1 1 2 0 0 1 0 2 0 7 3 5

3 0 4 14

1 3 2 1 6 2

4 4 10 10

线性代数1-5行列式的性质

r3 3r1r4 4r1

1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 0 0 2 01 1 0 2 0 0 0 2 0 0

0 1 22 1 0 1 2

4 5 2 3 5 4 0 2

1 3 21 3 1 2 2

0 2

r2 r4

线性代数1-5行列式的性质

r3 r2

1 1 0 2 0 0 0 0 0 0

2 1 1 1 2

3 5 1 0 2

1 3 2 2 2

r4 r3

1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2

1 3 0

2 2

2

线性代数1-5行列式的性质

r5 2r3

1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 0 0 1 1 0 1

1 3 2 0 4

0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6

线性代数1-5行列式的性质

a b例2 计算 n 阶行列式

b a b

b b a b

b b b a

b b b a

D b

b b 解 将第 2,3, , n 都加到第一列得a n 1 b a n 1 b b a b b b b a b

D a n 1 b a n 1 b

线性代数1-5行列式的性质

a ( n 1)b 1 1 1 a (n 1)b b a b

1 1

b a b b b a b

b b b b a b b a b

0 a b

n 1 a (n 1)b (a b) .

0

线性代数1-5行列式的性质

a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn

例3

a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk

b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk

证明

D D1 D2 .