2012-2013 线性代数期末考试卷及答案

2012-2013 线性代数期末考试卷及答案

东华理工大学 2012—2013学年第一学期

2.设向量组α 1,α 2,α 3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( D )。 A.α 1 α 2,α2 α3,α 3 α1;,α1+α 2;, 3α 1+ 5α 2 5α 3;, 3α 1+α 2+ 2α 3

A《线性代数》考试试题(A )卷1

(请考生注意：本试卷共三页)大题成绩一、填空题(本大题分 5小题，每题 3分，共 15分) 1.设 A为 n阶方阵，且 n> 1, A= d,则 AT= 0 0 0 2.设 A= 0 3 1 2 1 d .

成绩四五六

B.α 1+ 2α 2+α 3 C.α 1+α 2+α 3

,α2+α3

一

二

三

, 2α 1 3α 2+ 22α 3, 2α 1+ 3α 2+α 3

D.α 1+ 2α 2+ 3α 3

3.设 A是 3阶方阵，且 A= 1, A*是 A的伴随矩阵，则( A )。 A. A*

( )

*

= A;= A 1;

B. A*

( )

*

= A*;*

0 1 1 2 3 0 1 0 2 3 . 1 1 ,则 A= . 0 1 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 .

C. A*

( )

*

D. A*

( )

= AT

3.向量α= (1,2,2),与β= (2,4, b)线性相关，则 b=

4.设 A是 3阶可逆阵,已知 A 1的特征值为 1, 2, 3, Aij是 A中元素 a ij的代数余子式,则

n 1 1 1 n 1 1 4.设 Dn= 1 1 n 2 1 1 1A. n !;;

1 1。 1,则 Dn= ( C ) 1

A11 a11+ A12 a12+ A13 a13= 1/6已知二次型的矩

. 0 1 A= 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0

C. (n 1) !,则二次型

5.

阵

为

n(n 1) 2 n(n+ 1) D. 2B.

;

5.设 A, B都是 n阶方阵，且 A与 B相似,则( D )。 A.λE A=λE B; B. A与 B有相同的特征值和特征向量； C. A与 B都相似于一个对角矩阵； D.对任意常数 t, tE A与 tE B相似

f ( x1, x 2, x3 )= x T Ax=

. x1 x 2 x1 x3+ x 2 x3

二、单项选择题(本大题共 5小题，每题 3分，总计 15分)

1 0 2 1.设 A是 3× 3矩阵，且 r ( A)= 2,又 B= 0 3 0 , 4 0 5 则 r B T AB= ( B )。 A.1; B. 2; C. 3; D.不确定

(

)

说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系(部)领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

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东华理工大学2008—2009学年第一学期

4．讨论向量组α1=(1，1，0)，α2=(1，3， 1)，α3=(5,3,t)的线性相关性.

T

T

T

A2）卷

三、计算：（（1-4每题9分，第5小题10分，第6小题14分，共60分））

115

1111

。

A=133=2t 2

0 1t

当t=1时，A=0，α1,α2,α3线性相关当t≠1时，A≠0，α1,α2,α3线性无关

1248

1．（本题8分）计算行列式：D4=

1392714166410

解：D4=

00

111

123123

12326

=3815=026==12

381542

7266301224

72663

120 100 1

2．A= 030 ，B= 010 ，求(A 2BT).

005 0 32 120

T

解:A 2B= 016

001 (A 2BT) 1

12 12 = 01 6 001

λx1+x2=λ2

5．（本小题10分）讨论λ为何值时，方程组 有唯一解、无穷多解或无解.

x1+λx2=1

解:(A,b)=

2

λ 1λ1 1

→2 2

λ1λ 01 λ1

λ2 λ

当1 λ≠0时,即λ≠1时,方程组有唯一解

当λ=1时,R(A)=R(A,b)<2此时方程组有无穷多解.当λ= 1时,R(A)≠R(A,b)此时方程组有无解.

132

1

3.已知A= 201 ,求(A)

385

解:(A)

1

=

1

AA

1/312/3 1 =A= 2/301/3 3

18/35/3

A=3,(A ) 1

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四、证明：（每题10分，共1题）

1．设方阵A满足A=A，试证A的特征值只有1或0.解:设A的特征值为λ,α是的对应于特征值λ的特征向量

2

A3）卷

7．（本小题14分）用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3 2x1x3为标准形.

2

2

2

∵A2=A∴A2α=Aα λ2α=λα

10 1

解:f的矩阵为A=010 101

由A λI=λ(λ 1)(2 λ)=0,得A的特征值λ1=0

∵α为非零向量

∴λ2=λ λ=0或λ=1

,λ2=1，λ3=2

T

对于λ1=0解(A λI)x=0得特征向量ξ1=[101]

单位化后的e1=1/2,

[

0,1/2

]

T

对于λ2=1解(A λI)x=0得特征向量ξ2=[0,1,0]，

T

标准正交后得e2=[0,1,

0]，

T

T

对于λ3=2解(A λI)x=0得特征向量ξ3=[ 1,0,1]

单位化后的e3= 1/2,

[

0,1/2

]

T

令P=(e1e2

1/20 1/2

e3)= 010

1/201/2

2

2

故正交变换x=Py，在此变换下f化成标准形f=y2+2y3