[精品]2019学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2

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球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为????? x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，

z ＝r cos φ.

已知点P 的球坐标为?

????4，4，4，求它的直角坐标． 直接套用变换公式求解．

由变换公式，得

x ＝r sin φcos θ＝4sin

3π4cos π4＝2. y ＝r sin φsin θ＝4sin

3π4sin π

4＝2. z ＝r

cos φ

＝4cos 3π4

＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．

已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.

1．求下列各点的直角坐标：

(1)M ? ????2，π6，π3；(2)N ?

????2，3π4，7π6. 解：(1)由变换公式，得

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推荐下载 x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12

，

y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝

32， z ＝r cos φ＝2cos π6＝ 3.

∴它的直角坐标是? ??

??12，32，3. (2)由变换公式，得 x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 7π6＝－62. y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 7π6＝－22. z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－ 2. ∴它的直角坐标为? ??

??－62，－22，－2. 2．将点M 的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．

解：∵(r ，φ，θ)＝(π，π，π)，

∴x ＝r sin φcos θ＝0，

y ＝r sin φsin θ＝0，

z ＝r cos φ＝－π.

∴点M 的直角坐标为(0,0，－π).

设点M 直接套用坐标变换公式求解．

由坐标变换公式，可得 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.

由r cos φ＝z ＝2，

得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4

. 又tan θ

＝y x ＝1，θ＝π4

(M 在第一象限)， 从而知M 点的球坐标为?

????2，π4，π4.

由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式

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推荐下载 ????? x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，

z ＝r cos φ，

求出r ，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝z r .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．

3．求下列各点的球坐标：

(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)．

解：(1)r ＝x 2＋y 2＋z 2＝ 12＋

32＋22＝22， 由z ＝r cos φ，得

cos φ＝z r ＝

222＝22. ∴φ＝π4

， 又tan θ＝y x ＝

31

＝3，x >0，y >0， ∴θ＝π3

， ∴它的球坐标为?

????22，π4，π3. (2)由变换公式，得 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝ －2＋12＋－2

2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－

22. ∴φ＝3π4

. 又tan θ＝y x ＝

1－1

＝－1，x ＜0，y ＞0， ∴θ＝3π4. ∴它的球坐标为?

????2，3π4，3π4. 课时跟踪检测(六)

一、选择题

1．已知一个点的球坐标为?

????1，π6，π3，则它的方位角为( )

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推荐下载 A.π3 B.3π4 C.π2 D.π6

解析：选A 由球坐标的定义可知选A.

2．设点M 的柱坐标为? ??

??2，54π，2，则它的球坐标为( ) A.? ????2，π4，π4 B.? ????2，π4，5 π4 C.? ????2，5 π4，π4 D.? ????2，3 π4，π4 解析：选B 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，

????? x ＝2cos 5 π4，y ＝2sin 5 π4，z ＝2， 故??? x ＝－1，y ＝－1，z ＝ 2. 设点M 的球坐标为(ρ，φ，θ)． 则ρ＝－2＋－2＋22＝2，

由2＝2cos φ知φ＝π4

. 又tan θ＝－1－1

＝1， 故θ＝5 π4

， 故点M 的球坐标为? ??

??2，π4，5 π4. 3．点P 的球坐标为? ??

??1，π2，π，则它的直角坐标为( ) A ．(1,0,0) B ．(－1，－1,0) C ．(0，－1,0) D ．(－1,0,0)

解析：选D x ＝r sin φcos θ＝1·sin π2

·cos π＝－1， y ＝r sin φsin θ＝1·sin π2·sin π＝0，

z ＝r cos φ＝1·cos π2＝0.

∴它的直角坐标为(－1,0,0)．

4．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )

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推荐下载 A.? ????2，π4，π4 B.? ????2，π4，5π4 C.? ????2，5π4，π4 D.? ??

??2，3π4，π4 解析：选B 由坐标变换公式，得

r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4

. ∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝5π4

. ∴M 的球坐标为?

????2，π4，5π4. 二、填空题

5．已知点M 的球坐标为?

????4，π4，3π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________． 解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．

答案：(－2,2,22) ? ??

??22，3π4，22 6．在球坐标系中，方程r ＝1表示________．

解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．

答案：球心在原点，半径为1的球面

7．在球坐标系中A ? ????2，π4，π4和B ? ????2，3π4，3π4的距离为________． 解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1,1，2)，B (－1,1，－2)．

∴|AB |＝[1－－

2＋－2＋[2－－22＝2 3. 答案：2 3 三、解答题

8．将下列各点的球坐标化为直角坐标． (1)?

????4，π2，5π3； (2)? ??

??8，3π4，π. 解：(1)x ＝4sin π2cos 5π3＝2，y ＝4sin π2sin 5π3

＝－23， z ＝4cos π2

＝0，

∴它的直角坐标为(2，－23，0)．

(2)x ＝8sin 3π4cos π＝－42， y ＝8sin 3π4sin π＝0，z ＝8cos 3π4

＝－42，

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9．如图，请你说出点M 的球坐标．

解：

由球坐标的定义，记|OM |＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ，设M 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.

这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，φ，θ)表示．

∴点M 的球坐标为：M (R ，φ，θ)．

10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，

D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)

解：∵O 是△BCD 的中心，

∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C ? ????33，π2，0，D ? ????33，π2

，2π3， B ?

????33，π2，4π3，A ? ??

??63，0，0.